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pement asymptotiqiie de l'intégrale f(z)o"(z)dz, où n désigne un 



nombre élevé, lorsque o(z) représente E'-" ou E~'', E étant la base des 

 logarithmes népériens. La loi de succession des termes du développement, 

 inabordable dans le cas général, se présente alors sous forme simple. 

 L'expression fournissant la valeur de Fintégrale est liée à la disposition du 

 contour d'intégration, par rapport à certains points du plan de la variable z, 

 comme je Tai expliqué dans une Note antérieure ('). J'ajoute que, dans cer- 

 tains cas, très importants à considérer au point de vue des applications, 

 j'indique la marche à suivre, pour trouver une limite supérieure de l'erreur 

 commise, en s'arrêtant à un terme de rang déterminé, dans le dévelop- 

 pement. 



AXALYSE MATHÉMATIQUE. — Une application de la théorie 

 des équations intégrales. Note de M. Ivar Frediiolm. 



Soit 4>(^) une fonction rationnelle telle que le demi-plan supérieur des s 

 soit conformément représenté sur un domaine fini D dans le plan des u par 

 la relation u^^{s). Considérons l'équation intégrale linéaire correspon- 

 dant au problème de Dirichlet pour le domaine D. Cette équation s'écrit 



(1) 9(0 + >^/ ,f{l,s)o{s)ds = a{l), 



OÙ 



f(t,s)z=: . —log,^^-^ ^^-, 



277^ Os (D(.ç)_$(^) 



^{s) étant la fonction rationnelle qu'on obtient en changeant le signe de i 

 dans tous les coefficients de ^{s). 11 s'agit d'abord de calculer les noyaux 

 itérés. Cela peut se faire de la manière suivante. La fonction $(,y) étant 

 supposée du degré 71 prend chaque valeur n fois et l'on peut diviser le plan 

 des s en n parties que j'appelle domaines élémentaires, de sorte que, dans 

 chaque domaine élémentaire, ^{s) prend chaque valeur une seule fois. Des 

 hypothèses faites sur <^(s), il s'ensuit que le demi-plan supérieur des ^ se 

 trouve à l'intérieur d'un des domaines élémentaires, soit £„. Le pôle a 

 de <I^(.y ) dans s^ est négativement imaginaire. On trouve maintenant que les 

 noyaux itérés de l'équation (i) sont des fonctions rationnelles que l'on 



(') Comptes rendus, t, 172, 19.ii. 



