SÉANCE DU 10 AVRIL 1922. 989 



GÉOMÉTRIE. — Sui' la géométiie conforme des systèmes de cercles. 

 Note de M. E. Vessiot. 



On peut appeler géométrie conforme Tétude de celles des propriétés des 

 figures de l'espace que n'altèrent pas les transformations dites conformes. 

 De celte géométrie relèvent des théories classiques, telles ([ue celles des 

 systèmes orthogonaux, des systèmes cycliques, etc. La présente Note se 

 rapporte à la géométrie conforme des systèmes de cercles. 



1. Invariants d'un système de deux cercles. — Soient A et B deux cercles 

 quelconques; a, a' et ^,^' deux couples orthogonaux de sphères se coupant 

 respectivement suivant A el B. Les angles ^F et '^,, réels.ou imaginaires, 

 définis par 



(i) cosi' r= cos(a,,3) cos(a',3') — cos(a, 3') cos(a',3), 



( 2 ) sin2 W^ = sin-^ ( a, B ) + sin^ ( a', B ) =: sin^ ( 3, A) -+- sin'- ( 3' . A), 



ne dépendent, en fait, que des deux cercles; et sont égaux à l'angle de 

 ceux-ci, s'ils se coupent. L'un ou l'autre de ces angles pourrait donc être 

 appelé, dans le cas général, angle des deux cercles A et B. ^L Kœnigs 

 ayant introduit sous ce nom, par une voie toute dilYérente du reste, un 

 angle qui n'est autre que W y on pourra donner à ^", le nom à' inclinaison 

 relative des deux cercles. La différence sin-^'', — sin-^', qui s'annule quand 

 les cercles se rencontrent, mesure, au point de vue conforme, Vécart des 

 deux cercles (' ). 



Les angles W et W ^^ étant deux invariants^ indépendants du système des 

 deux cercles, caractérisent ce système et ses homologues, au point de vue 

 conforme. M. E. von Weber ( - ) a introduit, à cet effet, deux autres inva- 

 riants o) et co', dont je rappelle la définition. Soient K et K' les deux cercles 

 perpendiculaires { ^) communs à A et B; co el co' sont les angles sous lesquels 

 se coupent respectivement les sphères a et b contenant l'une K et A, et 



(' ) Si l'on définit les cercles par leurs coordonnées pentasphériques, on retrouve ici 

 une forme doublement quadratique introduite par M. Kœnigs; et l'on constate immé- 

 diatement l'identité de ^V avec l'angle de deux cercles de M. Kœnigs {Annales de 

 Toulouse, 1888), 



(■-) Arkiv fur Malhenxatik und Pliysik, iq'm. L'auteur indique la formule (1) et 

 la première des formules (3), qui en résulte. 



(^) Je dis que deux cercles ?,on\. perpendiculaires 's\\?: sont sur une même sphère, et 

 s'ils sont orthogonaux. 



