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l'autre K et B, et les sphères ût' et h' contenant l'une R' et A, et l'autre 

 K' et B. Ceci rappelé, on a les relations immédiates 



( cosT = cosw cosw', sin^^i =: sin-« 4- sin-w', 



( o ) \ , . 



( sin^^Fj — sin-W:= sin^o) sin-w', 



2. Pentasphère et symétries du système. — Soient/? et ^ les sphères bis- 

 sectrices du couple de sphères a, />; p' et </' les sphères bissectrices du 

 couple a', b' . Elles forment avec r, sphère orthogonale commune à A et B, 

 un pentasphère orthogonal qu'on peut appeler le pentasphère du sys- 

 tème A, B; car de ses relations avec les cercles A et B résultent les pro- 

 priétés du système. On constate, par exemple, que le système A, B reste 

 invariant par les symétries (') effectuées par rapport à r, et par rapport aux 

 six cercles d'intersection des sphères p, </, p' , q' \ et que quatre de ces 

 symétries échangent les cercles A et B; et de là découlent diverses pro- 

 priétés angulaires des sphères des faisceaux A et B, que j'omets pour 

 abréger. 



3. Applications aux surfaces cerclées. — Si A est cercle générateur d'une 

 surface cerclée, et si B est le cercle générateur infiniment voisin, le penta- 

 sphère du système A, B devient un pentasphère orthogonal limite H, associé 

 au cercle générateur A. De la considération de ce pentasphère on déduit les 

 propriétés conformes de la surface : je me bornerai dans cette Note aux 

 propriétés différentielles du premier ordre. 



Soient H et H' les positions limites des cercles perpendiculaires communs 

 à A etB; leurs pieds sur A s'appelleront les deux couples des points cen- 

 traux; les sphères passant par A et H, par A et H' seront les sphères cen- 

 trales; à chacune on associera son adjointe, orthogonale à A aux points 

 centraux correspondants. Le pentasphère II est. formé de sphères centrales, 

 de leurs adjointes, et de la sphère orthogonale à A et au cercle infiniment 

 voisin; les points où cette dernière coupe A sont les foyers du cercle A^, 

 commun aux sphères adjointes, qui va jouer un rôle important. 



Ce cercle A^ sert, en effet, à définir les points de A par une coordonnée 

 invariante : c'est l'angle 6 de l'une des sphères adjointes avec la demi- 



(') 11 y a trois espèces de symétrie conforme, ayant des propriétés analogues aux 

 trois espèces de symétrie euclidienne. La symétrie par rapport à une sphère est 

 classique. Je dis que deux points sont symétriques par rapport à un cercle C; s'ils 

 sont communs à deux cercles perpendiculaires à C; et que deux points sont symé- 

 triques par rapport à un couple de points I, J, s'ils sont avec eux sur un même 

 cercle, et s'ils sont conjugués harmoniques, par rapport à eux, sur ce cercle. 



