SÉANCE DU lO AVRIL T922. 993 



On constatera que les nombres (a) du système F.j sont (' ) 



(7l = 8, 0-2=4, 0':i=O, 



(7, -h 2 0-O H- 3a-;j se trouve égal el non pas inférieur au nombre des conditions 

 auxquelles doit satisfaire une forme d'ordre 4 pour faire partie du mo- 

 dule (F,). 



3. D'après ce qui précède, il convient de n'accepter (|u'avec quelques 

 réserves les conséquences que Ton a tirées, pour Tétude générale des sys- 

 tèmes, de la forme canonique (D). On peut se demander si, malgré cela, il 

 serait possible de conserver sans modification pro fonde l'énoncé (") d'après 

 lequel « si un système algébrique définit dans l'espace à « — i dimensions 

 (coordonnées homogènes .i\.x^, . . . , x,^) des multiplicités (M ) à /z — 2, 

 /i — 3, . . ., o dimensions de degrés respectivement [x„_,, a„-2? • ■- (j.,, la solu- 

 tion (S) du système aux dérivées partielles correspondant (') dépend ( ' ) de 

 fonctions arbitraires de n — i, n — 2, . . . , i variables en nombre respecti- 

 vement [J.«_,, y-n—2j •••7 î^-i »• Les dimensions et degrés des multiplicités ( M ) 

 déterminent-ils entièrement le degré de généralité de (S)? 



// n'en est pas ainsi. On doit, il est vrai, pour l'affirmer, s'accorder au 

 préalable sur le sens à donner aux mots degré de généralité de la solution 

 d'un système différentiel. 



En raison de l'invariance des nombres (a), il nous semble naturel de 

 considérer que les solutions de deux systèmes ont le même degré de géné- 

 ralité seulement si les nombres (a) de même ordre P des deux systèmes 

 sont respectivement égaux (en ajoutant, si l'on veut même, la restriction : 

 P suffisamment grand), autrement dit si les fonctions caractéristiques (') 

 (d'Hilbert) des deux « modules » sont les mêmes. Or il est bien connu que 

 la fonction caractéristique d'un module ne dépend pas seiûemeni dea dimen- 

 sions et degrés des multiplicités correspondantes. En nous bornant toujours 

 à un exemple de caractère très élémentaire, les fonctions caractéristiques 

 des modules correspondant à une biquadratique et à une quartique unicur- 



sale sont respectivement 4P et 4P -t- I- 



4. Ajoutons que la considération des nombres (cr), et de nombres ana- 



(') Voir Note du i3 février 192'.. 

 "(^) Delassus, Annales de l'École Normale, 1897, p. 44- 

 ('j Obtenu en remplaçant chaque monôme par la dérivée correspondante. 

 (*) Outre des constantes arbitraires, en nombre fini. 

 (•^^ « Postulazione » des géomètres italiens. 



G R., 1922, v Semestre. (T. 174, N* 15.) 7^ 



