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logues dans le cas de plusieurs fonctions inconnues, pourrait peut-être 

 remplacer avec quelque avantage celle des « invariants » définis par 



M. Delassus(*). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Bèmonstrjiùon d'un ihéorèine de 3L Borel. 

 Note de M. Torsten Carleman, présentée par M. Emile Borel. 



Je me propose de démontrer un théorème que M. Borel a énoncé; comme 

 vraisemblable, sans en donner de démonstration (-). 



Considérons des fonctions F(^) s'annulant, ainsi que leurs n premières 

 dérivées pour r = o et ^ = i ; posons 



et supposons m» = i. On démontre, comme dans ma Note sur le théorème 

 de M. Denjoy ("), que la suite (3,, ^2> • • •? %i+\ n'est pas décroissante. 

 Introduisons la fonction 





(2) ^{^)= e-^'[F{t)y-dt. 



On a t[>(o) = m„ = i . D'autre part, en effectuant p intégrations par parties 

 et utilisant l'inégalité de Schwarz, on obtient 



(3) logi<D(-i+0-)|^i+/> j_^°f^^;.^,^ > 

 Marquons sur la droite 'f^(-) = — i, une suite de points 



~v = — H-i/v (V = I, 2, . . .. /2 -t- l), 



tels que j ::v| = 2^'3v et posons 



i f^(7) = o • (o<J<J'i)» 



(4) y-^{y)=P {yp=y:^yp+i), . 



( r_,>(y) = «,+i (j^^,Iy<ao); 



nous aurons 



(5) loo|(D(_n-tj)|^,_ w()'). 



La fonction ^( :■) est régulière et bornée dans le demi-plan a(z)^ i. 



(^) Annales de l'Ecole Normale^ 1908. 

 ('-) Comptes rendus, t. 174, 1922, p. 378. 

 {■^) Comptes rendus^ l. 174, 1922, p. 5o5. 



