SÉANCE DU lO AVRIL 1922. 996 



Posons M = Io'g|tI>(j)| et désignons par r la fonction de Green f infinie 

 en :;=:o) qui correspond au demi-cercle A(z)i;— i; jj-hi| = p; en 



utilisant l'intégrale /("-> Vj-)ds, tenant compte des singularités 



de |<IM^)| et faisant tendre p vers l'iiitini, on démontre rinégalité 



(6) iog|a»(o)|â^J _L_iog|a»(_i+/^)l^,.. 



En tenant compte de (5 ) et de $(0 ) = i , on en conclut 



et Ton en déduit 



^-M. 



(ji{y) dy I 1 



r /i J2 /„+■ 



le calcul de l'intégrale étant aisé d'après (4), Comme 7-,<^2ej3,,, on en 

 conclut 



c II I ^ / I 



Ï5«+i = o- + ^ -+-••• + -. yr.e[ n 



La relation m^ = i entraîne w,^t: et, par suite, }'j^ 4~"^' — i? il vient 

 donc 



(7) • S,^ai:e[i+ ^^^_^ ^=k'. , 



En remplaçant F(j?) par G F(a^), on peut lever la restriction m^ = i ; on 

 a, quel que soit w^, 



(8, S,„,</,'(,+ ,-l). 



Pour démontrer le théorème que nous avons en vue, il faut montrer que 

 l'on peut trouver, indépendamment de m„, une borne supérieure de S„^., 

 lorsqu'on connaît une borne inférieure de [3,. En appliquant la formule (8) 

 à F'(;r ) au lieu de F(^), on obtient, à Faide d'un calcul élémentaire, l'iné- 

 galité 



S„^oA''( 1+ -L] -1-1+ -1, 



et, si l'on remarque que [^, est certainement plus grand que iM.\ en dési- 

 gnant par M^, le maximum de | F'^^(.r) j, il viendra, en raison de l'inégalité 



