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8^< sjM.'^ pour toute fonction F(.x) s'annulanl pour ^ = o et x' = i , ainsi que 

 ses n premières dérivées, 



111 I / I 



_;;(2/.'+i) I 



Pour démontrer le théorème de M. Borel, il suffît d'observer que, si Ton 



pose 



F(^)-/ 



Z| \j: 



la condition F(^) satisfait à nos conditions du moment que /(^) satisfait 

 aux conditions de M. Borel 



D'autre part, M,, étant le maximum de |/''"(^)| pour o<x< 1 , un calcul 

 facile montre que l'on a 



A cause de l'inégalité M^ = M^I^i, on aura finalement, en tenant compte 

 de la valeur de /', 



(10) TT -^ ^r=i + T-^= 4- ... H . < • 



4 71 



■^e-^-ij 



C'est le résultat énoncé par M. Borel, la limite supérieure obtenue ne 

 dépendant pas de n, du moment que les conditions (9) sont remplies. 



Je ne me suis proposé, dans ce qui précède, que de démontrer l'existence 

 d'une borne supérieure finie k pour la somme (10) et je ne me suis pas 

 efforcé de trouver la plus petite valeur de /{ que peut fournir la méthode 

 employée. 



Remarques sur la Note de M. Caibma?i, par M. Emile Borel. 



La démonstration donnée par M. Carleman de l'énoncé que j'avais induit 

 du théorème deDenjoy est remarquable par sa profondeur et par sa simpli- 

 cité. Il serait toutefois désirable d'arriver à donner une démonstration, 

 sinon algébrique ('), du moins ne faisant appel qu'aux variables réelles. 



(') Le théorème de Carleman, énoncé sous la forme de Tinégalilé (10), est vrai pour 

 une fonction quelconque s'il est vrai pour un polynôme, du moment que l'on ne 

 limite pas le degré de ce polynôme en fonction de n. C'est une conséquence de la 

 théorie de l'approximation des fonctions continues par les polynômes. 



