SÉANCE DU lO AVRIL 1922. 997 



du théorème auquel M. Carleman vient d'attacher son nom. Ce théorème 

 de Carleman me parait en effet devoir être considéré, avec le théorème 

 de Denjoy, comme l'un des théorèmes fondamentaux de la théorie des 

 fonctions indéfiniment dérivables de \ariables réelles. 



La démonstration à laquelle j'avais songé et que je n'ai pu arrivera rendre 

 rigoureuse me conduisait à la valeur e pour le nombre que M. Carleman 

 appelle k. Il serait intéressant de vérifier si cette indication est ou non 

 justifiée et en tout cas de déterminer plus précisément le nombre /•. Il serait 

 encore plus intéressant de compléter les théorèmes de Denjoy et de Car- 

 leman par une étude asymptotique aussi précise que possible des séries de 



terme général 7r^=; pour cette étude, il v aurait peut-être avantage à subs- 



tituer à ces séries les séries de terme général " •> qui doivent avoir les 



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mêmes propriétés et qui sont peut-être plus aisées à manier. 



GÉOMÉTRIE. — Quelques propriétés des surfaces réglées en liaison avec la 

 théorie du parallélisme dé M. Levi-Cività. ^iote de M . A. Myller, pré- 

 sentée par M. Appell. ' 



Considérons une surface (S) et une courbe (C) tracée sur la surface. Soit, 

 dans la surface, une série de directions parallèles le long de la courbe (C) 

 et définissons-les en nous donnant les cosinus directeurs en fonction de l'arc 

 de la courbe 



(0 P=(3(-0, 



fy=y(.). 



Ces directions pc^uvent être considérées comme génératrices rectilignes 

 d'une surface réglée tangente à (S) le long de (C). Cette surface réglée a 

 la propriété importante d'avoir comme ligne de striction la courbe (C). En 

 effet, soient M et M' deux points infiniment voisins sur la courbe (C). La 

 génératrice par M est fixée par ( i), celle par M' est fixée par 



i !y{s H- (h) = a(5) ^ 3f'(.«) ds -\- . . .^ 



(2) H (,s- 4- ch) - (3 (.0 + .3''(.v) ds-\-..., 



\ y (.V -+- ds \ — y {s) ^ y' (S) ds -^ . . . . 



(') Rendiconti del Circolo inatem. di Palernio. t. XLII, 1917. p- ijS. 



