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D'après M. Levi-Cività, cette génératrice (2) doil faire avec une direction 

 quelconque issue de M dans le plan (T) tangent à (S), le même angle que 

 la génératrice (i) passant par M fait avec la même direction. Cela à un in- 

 finiment petit de second ordre près. On a alors 



(3) aa'+ 6|3' + cy' = o, 



OÙ «, è, c sont les cosinus directeurs d'une direction quelconque dans le 

 plan (T). Le vecteur dont les composantes sont aVA, ^'ds^-^^'ds est celui qui 

 ajouté au vecteur (i ) nous donne le vecteur (2). Il est d'après (3) perpen- 

 diculaire au plan tangent en M. Par conséquent le plan (N) passant par la 

 droite (i) parallèle à la direction (2) est perpendiculaire au plan (T) tan- 

 gent en M. Ce plan (N ) est le plan tancent à la surface réglée au point à 

 l'infini de la génératrice (i). Le plan tangent (T) étant perpendiculaire 

 à (N) est le plan tangent au point central M. La courbe (C) est donc la 

 ligne de striction de la surface réglée, 



La réciproque est évidente. Les génératrices d'une surface réglée sont 

 parallèles dans la surface le long de la ligne de striction. 



Si nous faisons tourner chaque génératrice d'un même angle dans son 

 plan tangent autour du point de contact, on sait que les nouvelles direc- 

 tions restent parallèles le long de (C). Il s'ensuit un théorème de M. Pi- 

 rondini ( ') que toutes les surfaces ainsi obtenues ont la même ligne de 

 striction (C). En particulier pour un angle de go'* on obtient la surface 

 conjuguée de P. Serret (-). 



Supposons que la surface développable tangente à (S) le long de (C) est 

 un cvlindre. Ce c>lindre, ayant les génératrices parallèles, fait partie de la 

 série de surfaces à génératrices parallèles tangentes à (S) le long de (C). 

 Les génératrices d'une quelconque de ces surfaces font un angle constant 

 avec les génératrices correspondantes dune autre de ces surfaces et par 

 conséquent font un angle constant avec les génératrices du c>lindre. Il s'en- 

 suit un théorème de M. Dini (^) que toutes ces surfaces réglées ont un cône 

 directeur droit circulaire. 



En tenant compte du fait que les directions parallèles le long d'une ligne 

 géodésique d'une surface font un angle cojistant avec la géodésique, il ré- 

 sulte immédiatement le théorème suivant de (_). Bonnet ("*) : Si une courbe 



(') Giorn. di mat., l. 23, iS85, p. 296. 



(^) P. Seiiuet, Théorie nouvelle des lignes à double courbure (Paris, 1860). 



(') Giorn. di mat.^ t. 3, i865, p. 288. 



(^) J. École Polyt., t. 19, 18^8, p. 71. 



