SÉANCE DU l8 AVRIL 1922. Io55 



à tout nombre A inférieur à i correspond un nombre positif H tel que l'on 



ail 



à partir d'une valeur de r, pourvu que a^h. 



En multipliant les deux membres de cette inégalité par -^^^ et en inté- 

 grant entre a et 11 on obtient, après une intégration par parties du premier 

 membre el un changement de variai )les dans le second, 



/ 





> 





K étant une constante dépendant de a, «, h. 



Il s'ensuit que si l'intégrale (i) diverge, il en est de même du premier 

 membre de cette inégalité; il est donc impossible que l'intégrale 



f 



^liy^dr 



soit bornée pour deux valeurs distinctes de .r; si r,Xx) désigne le module 

 du /i'*""" zéro de/(v) - J', la série 



ne peut converger que pour une valeur x au plus. D'où ce résultat : 



Lorsque l'ordre p est entier et que les expressions (i) divergent, la série (3) 

 diverge, sauf peut-être pour une seule valeur de x. En particulier, le genre 

 def{z)^x est p , sauf peut-êti^e pour une valeur dex. 



On sait par les exemples donnés par MM. Wiman, Lindelôf, Boutroux, 

 que le cas exceptionnel peut effectivement se présenter, mais on pouvait 

 croire, par analogie avec ce qui se passe pour la régularité de la croissance, 

 que le nombre des valeurs exceptionnelles pouvait être supérieur à i dans 

 certains cas. La proposition précédente montre que le genre comme l'ordre 

 réel a une valeur normale qui ne dépend que des propriétés moyennes des coef- 

 ficients. 



Le mode de démonstration qui conduit à l'inégalité (2) peut se généra- 

 liser. L'inégalité (2) reste vraie lorsque n(y, a) et n(y, b) désignent le 



