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de l'invariant 1^, un invariant intégral d'ordre /> — i, ly;_, = / to,, où co, est 



une autre forme symbolique de degré p — i, qui se déduit de co en rempla- 

 çant successivement dans chaque terme une des différentielles dœ, qui y 

 fîg-urent par X, et multipliant ensuite le coefficient par ± i, suivant la place 

 de la difFérentielle c/x,. 



J'ai appelé opération (E) l'opération par laquelle on passe de l'invariant 

 absolu \^, à l'invariant I^,_,. Les invariants I^,_, ainsi obtenus ne sont pas 

 quelconques; ce sont aussi des invariants intégraux pour tous les systèmes 

 différentiels que l'on obtient en remplaçant, dans les équations (i), dl 

 par X(j:;,, ...,x„)di^ quelle que soit la fonction k(.Xf,.x.^, ...,x„). Si 7,, 

 Va, ..., Yn-i sont « — I intégrales premières, indépendantes de /, du sys- 

 tème (i), la forme co^ s'exprime uniquement au moyen de y,, ..., /„_,, 

 dy,, ..., dy„_,. C'est ce que M. Cartan appelle une forme différentielle 

 immriunte du système (i ). 



Supposons maintenant que les dénominateurs X,, et les coefficients de la 

 faune w, ou du moins quelques-uns, puissent renfermer l. Considérons le 

 système auxiliaire à ;? + i inconnues 



- V ~ ' ' ' "~ X ~ i ~" ' 



OÙ X, désigne la fonction X,, où l'on u remplacé t par ^„4.,, et soit de même 

 121a forme symbolique qui se déduit de co en remplaçant / par a.„+, dans les 



coefficients. Si l'intégrale \j,= /co est un invariant intégral par le sys- 

 tème (1), on vérifie aisément que I^,+ , = iildx^,^^ est un invariant intégral 



pour le système (2), car les deux systèmes de conditions sont identiques. 

 L'opération (E), appliquée à cet invariant intégral 1^;.^,, conduit à un nouvel 

 invariant d'ordre y:>, qui est identique à l'invariant complet de M. Cartan, 

 quand on y remplace x,^^\ et c/x',^^, par / et dt respectivement. 



^1. La méthode s'applique aussi aux invariants relatifs. Si J^, = / co est un 



invariant relatif, au sens de H. Poincaré, des équations {i)^ ù'dx^^^ est 

 un invariant absolu du système (2). L'opération (E), appliquée à cet 

 invariant, conduit à un nouvel invariant d'ordre />» -h i , /^',5 où ù\ est la 



forme dérivée d'une autre forme symbolique U, de degré/?. L'intégrale / 12, 



