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centrales et leurs adjointes, et associé à ce cercle le pentasphère ortho- 

 gonal Il constitué par ces quatre sphères et par la sphère orthogonale au 

 cercle générateur et au cercle infiniment voisin. J'ai de plus introduit 

 deux variables à caractère invariant, dont Tune, 0, définit les points d'un 

 même cercle générateur; et dont l'autre, a, qui a pour différentielle l'angle 

 d'un cercle générateur avec le cercle infiniment voisin, définit les cercles de 

 la surface. L'étude de la variation du pentasphère II, quand la valeur corres- 

 pondante de !7 varie, conduit aux invariants difTérentiels fondamentaux de 

 la surface. 



Pour le monlrer, introduisons des coordonnées pentasphériques et des 

 notations vectorielles : toute splière c, de coordonnées c^, c.,^ . .., c», équi- 

 vaudra à un vecteur c, de composantes c,, c^, . . ., c^, et l'on supposera 



/. 

 le cosinus de l'angle de deux sphères c et c sera égal au produit sca- 

 laire cc'= Vc//4- Si ces sphères varient d'une manière continue, 



dc'-:=z 7 dc'j. 

 k 



est le carré de l'angle de c avec la sphère infiniment voisine. Si c et c' sont 

 orthogonales, c' de = ^c'/J^^k est le complément de l'angle que fait avec c' 



la sphère infiniment voisine de e. C'est ce qu'on peut appeler, pour faciliter 

 le langage, la rotation propre (infinitésimale) du couple (c, c'); car, dans le 

 cas où les sphères deviennent des plans, cet élément est égal à la projection 

 orthogonale de la rotation infinitésimale (euclidienne) du dièdre qu'ils 

 forment sur l'arête de ce dièdre. 



Soient donc p, p' les sphères centi'ales, q, (f leurs adjointes, /• la sphère 

 orthogonale. La variation infinitésimale du pentasphère II est définie par un 

 système différentiel (analogue à celui que donnent les formules de Serret- 

 Frenet), qui s'écrit, sous forme vectorielle, 



i ^P I ,^^ dp' , ■ , ,> dr ,, , ,,, 



I -j^=—pcosA-^(/Q-i-/-l\, -X 3= — />'sii!/.— 7yO + /H'. 



L'invariant A, du premier ordre, a été défini dans ma première Note; les 



