SÉANCE DU 24 AVRIL I922. I Io3 



invariants P, Q, R, R', du second ordre, sont les vitesses de rotation propre 

 (relatives à g) des couples (p, p'), (q, q' )^ (^q, r), (q, r). 



Tous les invariants différentiels de la surface s'expriment au moyen des 

 invariants fondamentaux {') k, P. Q, R, R' et de leurs dérivées successives 

 par rapport à a\ et les formules qui donnent ces cinq invariants en fonction 

 de 1 sont les équations intrinsèques de la surface (S). Ce sont là des consé- 

 quences immédiates de l'existence du système. Les surfaces qui corres- 

 pondent à un même système d'équations intrinsèques (égales entre elles au 

 point de vue conforme) sont fournies par Fintégration de ce système. 



Ce système (S ) est un système de Lie, dont le groupe associé est le groupe 

 orthogonal à cinq variables; on peut en ramener l'intégration à celle d'un 

 système de Lie d'ordre 3, dont le groupe associé est le groupe projectif d'un 

 complexe linéaire. Dans le cas R — R'= o, où les cercles générateurs sont 

 orthogonaux à une sphère fixe, le système (S) se réduit à un système 

 d'ordre 4» dont le groupe associé est le groupe orthogonal à quatre varia- 

 bles, et l'intégration se ramène à celle de deux équations de Riccati (-). 



2. Géométrie sur une surface cerclée. — Un point m de la surface étant 

 défini par ses coordonnées curvilignes 1. 0, ses coordonnées pentasphé- 

 riques sont données par la formule vectorielle 



/)i ^z r iq sinO -h t'q' coi 6, 



et la sphère c passant par le cercle générateur, qui est tangente à la surface 

 en ce point, est 



p co? 9 sin k -+- /y sin î/cos/ 



avec 



Iv-= cos-6' sin^ A" -I- sin-^» cos-X'. 



Toute la géométrie sur la surface est fondée sur les deux formes quadra- 

 tiques différentielles d/n- et dmdv. dont les expressions sont, en fonction des 

 invariants, 



dm - = — Z - — K - d'y- , 



avec 



Z = 11 ^0- + 6^5, H = O — i\\ cos — /R' sin ^. 



dm dv = —— ( 3 sin /.• cos AZ d^ .-+- L d^-). 



(') Ln autre système d'invariants fondamentaux, mais peu maniable, a été calculé 

 par intégration, au moyen des méthodes de Lie, par M. Basserve, dans sa thèse 

 ( Pari-s, 191.5). 



(.-) J'ai étude ces questions d'intégration dans une \ote des Comptes rendus 

 ( 8 février iqug). 



