IIo4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



avec 



L -= K-P — Il sin A cos/. — — sinô cosô, 



da 



La forme dm} est proportionnelle au ds'- de la géométrie euclidienne, 

 qu'elle remplace pour les relations angulaires; en particulier, Z = o est 

 l'équation différentielle des Irajecloires orthoij^onales des cercles générateurs. 



La forme dmdv s'introduit dans la thc'orie de la courbure : la formule 

 vectorielle 



dm dv 



ir:_ p/« -(- C. ou p-=— — } — ^r-' 



délinit la sphère de courbe normale h", c est-à-dire celle qui passe en m et a 

 pour centre le centre de courbure normale de la courbe considérée. 



La formule qui donne, d'une manière analogue, la sphère de courbure 

 gêodésique (passant par m et ayant pour eeiitre le centre de courbure géodé- 

 sique de la courbe) ne fait intervenir que les coeflicients de dm"^ et leurs 

 dérivées. Elle se rattacbe à l'équation des géodésiques de l'élément dm'. 



Le faisceau des sphères dm remplace les plans normaux de la géométrie 

 euclidienne; c'est ainsi que les géodésiques du dm- sont les courbes qui, en 

 chacun de leurs points, ont un contact commun du second ordre avec une 

 de ces sphères. 



L'équalion différentielle des lignes de courbure esl 



sin k cos /,( Z,'' — K - da'' ) -i- LZ t/a = <>. 



Le premier membre est le numérateur de l'expression (dds, où (■) est la tor- 

 sion gêodésique; le dénominateur est «K* sjdm^. 



Cet élément %ds est, pour toute surface, un invariant conforme, car c'est 

 la rotation propre (infinitésimale) du couple orthogonal formé par la sphère 

 de courbure normale et la sphère de courbure gêodésique. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les équations de slruclure des espaces généralisés et 

 l'expression analytique du tenseur d'Einstein. Note de M. E. Cartan, 

 présentée par M. Hadamard. 



Dans quatre JNotes récentes ('), j'ai indiqué comment on pouvait étendre 

 la notion habituelle d'espace courbe. Dans le langage des géomètres 

 modernes, l'expression « espace euclidien » désigne un réceptacle de corps 



(') Coniples rendus, l. 17Y, p. 43;, SqS, 73/1 el 807. 



