SÉANCE DU 24 AVRIL 1922. IIo5 



dits rigides, dont les déplacements forment un certain groupe; un des o-lé- 

 ments essentiels de ce groupe est sa structure: c'esl la loi de composition des 

 déplacements. L'espace non euclidien de Lobatschefsky est de môme carac- 

 térisé par un groupe, mais de structure difierente. Si Ton considère main- 

 tenant une surface plongée dans l'espace euclidien, c'est un conlinuum à 

 deux dimensions sur lequel il n'existe plus de déplacements de corps rigides 

 (à deux dimensions); néanmoins, il est resté à ce continuum une partie, 

 mais une partie seulement, des propriélés infinitésimales de l'espace eucli- 

 dien : on peut définir la distance de deux points infiniment voisins et l'angle 

 de deux directions issues d'un même point. En passant de l'espace eucli- 

 dien à la surface, la notion d'espace, considéré comme support de déplace- 

 ments se combinant suivant certaines lois, s'est donc appauvrie et il reste 

 trace de cet appauvrissement dans la notion habituelle d'espace courbe. 



M. Levi-Cività, en définissant le transport par parallélisme dans une 

 variété de ds'- donné, a, au fond, donné un sens à l'expression « translation 

 infiniment petite », permettant ainsi de regarder la variété comme un 

 espace, c'est-à-dire un support de déplacements (infiniment petits); seule- 

 ment ces déplacements n'engendrent plus un groupe. Si maintenant on 

 définit ces déplacements de la manière la plus générale possible, le ds'- n'en- 

 ferme plus toute la réalité géométrique de V espace. Analytiquement, dans l'un 

 et l'autre cas, on peut définir l'espace par ses équations de structure. 



La structure de l'espace euclidien, c'est la structure du groupe des dépla- 

 cements euclidiens. Du point de vue de S. Lie, elle s'obtient par la consi- 

 dération des transformations infinitésimales du groupe. Le point de vue 

 que j'ai introduit dans la théorie des groupes continus est différent et peut 

 être présenté ici géométriquement. Imaginons l'ensemble de tous les 

 trièdres trirectangles qui dépendent de six paramètres a?,, ..., ^«j ^oi^t 

 les trois premiers .-r,, x^, x^ seront les coordonnées (cartésiennes ou 

 curvilignes) de l'origine. On peut passer d'un de ces trièdres (T) à un 

 trièdre infiniment voisin (T') par un déplacement infiniment petit, réduc- 

 tible à une translation et une rotation. Les composantes w,, w^, w^, suivant 

 les axes du trièdre (T), de cette translation, et les composantes 



(023=: — «3-2) '^Hi ^131 



suivant les mêmes axes, de la rotation sont, les trois premières, linéaires 

 en dx^, dx._,dx^, les trois dernières linéaires en dx^, ..., dx^, les coeffi- 

 cients des difierentielles dépendant eux-mêmes des six variables X:. Les 

 expressions de Pfaff w,, to,y ne sont pas arbitraires; elles satisfont aux rela- 



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