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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la formule d'interpolation de Newton. 



Note (') de M. .\.-E. IVouLUM). 



Newton a fait remarquer qu'or» peut souvent représenter une fonction 

 ^{z) dont on connaît les valeurs dans les points - = to, 2co, 3oj, ... par une 

 série de la forme 



(i) 3{z)=^a,{z. r„)(.. — o.,,j). ..(c-.vc)), 



OÙ les coefficients <7^ ne dépendent pas de :;. Cette série a été étudiée par 

 MM. Jensen, Bcndixson, Pincherle, Landau etCarIson. Soit w un nombre 

 positif et posons z =^ a + i'z. On sait que le domaine de convergence de la 

 série est un demi-plan, limité à gauche par une droite parallèle à l'axe ima- 

 ginaire. Il existe donc un nombre réel X tel que la série converge si cr > A, 

 et diverge si g-< A. L'abscisse de convergence 1 = A(w) dépend du nombre 

 positif to. Dans une Note précédente (-), j'ai étudié la formule d'interpola- 

 tion de Stirling. f^e calculateur préfère, en général, se servir de la formule 

 de Stirling parce que les premiers termes de cette formule donnent une 

 meilleure approximation que les premiers termes de la formule de Newton. 

 On pourrait donc être tenté de croire que la convergence de la série de 

 Newton devrait entraîner la convergence de la série de Stirling. Mais il 

 n'en est rien. La série de Newton converge dans des cas beaucoup plus 

 étendus que ne le fait la série d'interpolation de Stirling. On démontre que 

 la condition nécessaire et suffisante pour (ju'une fonction .^(r-)^e représente 

 par la série (i), c'est qu'elle soit analytique et holomorphe dans un certain 

 demi-plan a >- A et y satisfasse à une inégalité de la forme 



/: étant un nombre positif. Au sujet de la série de Newlon, le problème sui- 

 vant se pose : De quelle manière le domaine de convergence dépend-il de la 

 série des propriétés analytiques de la fonction qu'elle représente? Pour le 

 voir, considérons la fonction ^(z) sur une droite parallèle à l'axe imaginaire 

 et passant par le point cr. En prenant <7 suffisamment grand, on sait trouver 



(') Séance (lu 3 m ril \()i>.. 



(■-) Comptes rendus, l. 17'i-, 1922, p. 919. 



