SÉANCE DU 24 AVRIL I922. I 1 09 



un nombre positif /• tel que 



Soit ï la borne inférieure des nombres A pour lesquels cette équation est 

 satisfaite. H = ^(7) est une fonction de cr qu'il s'agit d'étudier. On sait 

 trouver un nombre réel a tel que, pour 7 > 7. 4- £, la fonction :^(z) est 

 holomorpbe et la fonction ^(7) est bornée supérieurement, pendant que 

 l'une au moins de ces conditions cesse d'être satisfaite pour a^^a — £, 

 quelque petit que soit le nombre positif £. En tenant compte d'un théorème 

 dû à MM. Lindelof (') et l*hragmén, on démontre qu'il existe un nombre 

 positif |î tel que, dans l'intervalle a< '7< j'i, la fonction ç(7) est positive, 

 décroissante, continue et convexe pendant qu'elle reste constante 

 pour (7^ p. 



Cela posé, on démontre l'existence d'un nombre positif gj, tel que le 

 développement (1) subsiste pour o<a)<w,, mais non pour oj>a),. 

 Considérons maintenant l'équation 



A la valeur w, de oj cette équation fait correspondre une certaine 

 valeur y de œ. On aura a<Y<[3. Quand a décroît et tend vers a, la fonc- 

 tion E(crj tendra vers une limite linie, soit ^o> ou elle augmente indéfini- 

 ment. Posons dans le premier cas 



et dans le second cas 



030 = O. 



A chaque valeur de co dans l'intervalle oJo<oj<co, l'équation (2) fait 

 correspondre une et une seule valeur de u dans l'intervalle </.<^G<^y. 

 Cette valeur de 1 est égale à l'abscisse de convergence À(co) de la série (+V 

 La fonction X(a)) est donc entièrement déterminée par l'équation 



Des propriétés de la fonction ^ on conclut que \(m) est une fonclioti 

 continue et croissante à l'intérieur de l'intervalle ajo<fo<a),. Mais elle 

 est discontinue dans le point co, . On aura en général A( co, ) > y et il arrive 



(') Acta matkenialica, l. 'i\, 1908, p. 38(-4o6. 



