SÉANCE DU 24 AVRIL 1922. II II 



R'; ^y,, c,, R,, R', sont les éléments correspondants de S, et Ton introduit 

 une fonction nouvelle X telle que 



(i) c'R'=la'}{, c\}{\=la^^Ri. 



La surface S étant donnée, a, c, A sont connues et pour que la surface S, 

 existe il est nécessairefejet suffisant qu'il existe une solution (a,, c, ) autre 

 que {a, c) du système 



•) / i dc,\ d f i Ocii \ 

 au V«i au J àv\ci dv ' 



' * c] Jouai' cil ^' ou\ c\ J 



c\ \ d- , 1 dci à / cj \ d- ■ - 



^"^V^"^'' '^c, au âv\a]}.) duOv^ 



Pour certaines surfaces S convenablement choisies, le système (2) admet 

 une solution (a,, c^) distincte de («, c) dépendant soit d'un nombre fini (ou 

 nul) de constantes arbitraires, soit de plusieurs fonctions arbitraires d'une 

 variable. Pour un couple solution (S, S, ) la correspondance ponctuelle, en 

 général, est unique; elle peut, dans certains cas, dépendre de un, deux, 

 trois paramètres arbitraires. 



A une surface hélicoïdale ou spirale quelconque correspondent indiffé- 

 remment soit ce' surfaces spirales, sjoitoo ' héiicoïdeset, en négligeant, sui- 

 vant convention faite, le glissement d'un hélicoïde sur lui-même ou l'auto- 

 transformation par similitude de la surface spirale, la correspondance 

 ponctuelle est unique. 



3. Il y a lieu de définir ici une classe particulière de surfaces parmi celles 

 que définit cette conception actuelle. Cette classe est définie par une équa- 

 tion unique aux dérivées partielles du quatrième ordre, identique, sauf un 

 coefficient numérique, à l'équation donnée par W'eingarten pour les sur- 

 faces isothermiques (voir Darboux, Théorie des surfaces, t. 2, p. 248); cette 

 classe renferme en particulier les quadriques, les cyclides de Dupin, les 

 surfaces de révolution, les surfaces minima, les surfaces à courbure totale 

 constante (positive ou négative); en dehors de ces solutions très générales, 

 j'ai mis en évidence, par Tintégration d'une équation différentielle du troi- 

 sième ordre, des surfaces spirales à quatre paramètres de forme. La pro- 

 priété caractéristique est de pouvoir ramener simultanément les équations 

 des lignes de courbure et des asymptotiques aux formes respectives 



( 3 ) du dv := o, . du- ± dv- = o. 



