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Ac:aDEM1E DEb SCIENCES. 



I^e changement de ç en iç permet de prendre indiflerernment soit le 

 signe +, soit le signe — . Il est bien clair que chacune des substitutions 



( //, r; /;///' 

 ( //, r; /nv' 



mv H- /^ ); 

 mil' -t- /<) ; 





mu 



nu' 



mv 

 mit' 



n) 



réalise une auto-correspondance du type actuel pour une telle surface, de 

 sorte que deux surfaces quelconques de ce type admettent quatre co^ cor- 

 respondances ponctuelles de Tespc'ce étudiée dans cette Note, réelles si les 

 courbures totales ont le même signe, imaginaires dans le cas contraire. 



Pou,r former l'équation aux dérivées partielles annoncée, la surface est 

 définie comme enveloppe du plan 



(/|) (a 4-;5)X + «(P --a)Y + (a,5-i)/ -+-ï = (), 



où ^ est une fonction de a, ^ dont/), </, /-, ^, t sont les dérivées partielles du 

 premier ou second ordre; on pose, pour abréger, 



(5) 



et Ton obtient l'équation 



(6; 



à 



- pu 



V /• àa " . 



\/rt 



/r à , z. 



\/rt 



^7, 



Si l'on supprime en tête le facteur 2, on a l'équation des surfaces isother- 

 miques donnée par Weingarten. 



Sur une surface connue du type actuel, conformément aux principes bien 

 connus de Sophus l.ie, de simples quadratures fournissent les lignes de 

 courbure et les lignes asymptotiques. En prenant la forme r///- — ofc- = o 

 pour les asymptotiques, la substitulion // = //, + (',,, v = u, — ^>^, établit, 

 soit sur une seule surface S, soit d'une surface S à une autre surface S, , une 

 correspondance ponctuelle échangeant cette fois les lignes de courbure en 

 asymptotiques et inversement. 



4. Les surfaces isothermiques sont complètement caractérisées par la pos- 

 sibilité de ramener simultanément les équations des lignes de courbure et 

 des lignes de longueur nulle aux formes respectives 



(7) rlii (h' -^ o, du- + dv--:- o. 



Si donc dans les fornmics (3) j'adopte la forme du- -f- c/i^- = o, je définis 



