SÉANCE DU I" MAI 1922. nSg 



Ceci est vrai quelque éloignés que soient les points A etB. En particulier, 

 d'après les postulats précédents, le triangle formé par trois rayons lumineux 

 qui se rencontrent, si grands que soient ses côtés, jouit des propriétés d'un 

 triangle rectiligne euclidien. La somme de ses angles est égale à deux 

 droites. 



.4. La gravitation newtonienne . — SoitP ou {x,y,z) un élément matériel 

 de très petite masse en présence d'un certain nombre de masses matérielles 

 immobiles, les autres étant extrêmement éloignées. Les trajectoires de P 

 dans l'espace sont les géodésiques d'un ds- de la forme 



où h est une constante arbitraire et U est une fonction de x, y, z qui satis- 

 fait à l'équation classique de Laplace-Clairaut dans tout l'espace et qui 

 s'annule à l'infini, conditions qui la déterminent. Le temps t est donné par 



( 2 ) • dt=^ 



\/2(LI + /0 



Si, sans' changer /, on emploie, au lieu des coordonnées carté- 

 siennes a?, y, ;, des coordonnées obliques ou des coordonnées curvilignes 

 quelconques a;,, x^, x^ (indépendantes de /), le c^cr^ (carré de la distance de 

 deux points infiniment voisins) devient une forme quadratique : 



( 3 ) rh'-—^ aju dxj dxk ( /, /: = i , 2, 3 ) 



et U une fonction U , (j?, , x.yX.^ : les coefficients de «^^(^i , • • • , •x-'k) satisfont aux 

 conditions classiques qui expriment que da' donné par (3) est un ds"^ euclidien, 

 et U, satisfait à l'équation de Laplace-Clairaut en coordonnées curvilignes; 

 ces conditions forment un ensemble d'équations aux dérivées partielles du 

 second ordre, linéaire par rapport aux dérivées secondes, et invariant dans 

 un changement quelconque des variables a;,, x.^, x^. 



En particulier, supposons que les masses se réduisent à une sphère de 

 centre O formée de courbes concentriques homogènes, c'est-à-dire ayant du 

 point de vue mécanique comme du point de vue géométrique la symétrie 

 de la sphère : les trajectoires de P seront les géodésiques du ds'- 



ds'^'= (^ + h] \dr'-\- r-{sin-^9dcû-^-hdd-) ;, 



A'' / 



r, 0, !p désignant les coordonnées polaires de l'espace Oxyz. 



5. La gravitation einsteinienne . — ÎNous ne pouvons réaliser que diffici- 



