Il4o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



lemenl et toujours ijnparfaitement les mesures théoriques des longueurs 

 et du temps définies plus haut. D'autre part, nos expériences (quand on 

 les analyse à fond) ne font jamais que constater la coïncidence de deux faits, 

 au même instant, en un même point de l'espace. Or cette coïncidence 

 subsiste quel que soit le changement (biunivoque) qu'on effectue sur les 

 quatre variables x, y, z^ t. D'où l'idée de modifier les équations de ki 

 Mécanique, en particulier de la gravitation, de telle façon qu'elles revêtent 

 une forme invariante simple, non pas seulement dans le changement des 

 variables spatiales x, y, z, mais dans le changement des quatre variables 

 espace-temps. 



(). Quand il s'agit du mouvement d'un élément P (ou de la propagation 

 de la lumière) loin de toute matière, la chose est immédiate. 



Considérons en effet le ds^ à quatre variables : 



( 4 ) ds^ — V2 dt' —dx'-- dy^ —dz-; 



dans un mouvement quelconque de P, les coordonnées x,y, z sont linéaires 

 en /; autrement dit, ces mouvements sont définis par les géodésiques 

 du ds^ précédent; les trajectoires des rayons lumineux sont les géodésiques 

 pour lesquelles ds'- est nul. Si l'on fait sur x,y, s, t un changement de 

 variables quelconques, le ds- prend la forme (^,, x^, x^, x,, désignant les 

 nouvelles variables) : 



(5) ds-^^Aj/^i^i, x^, x-i, x^)dxjdx;^. (_/, A:= I, 2, 3, 4), 



OÙ les coefficients Ay/^ satisfont aux conditions classiques (équations linéaires 

 par rapport aux dérivées partielles du deuxième ordre) qui expriment que 

 le ds'- donné par (5) est un ds'- euclidien (à quatre variables). 



Donc, — quel que soit le repérage adopté^ — loin de toute matière^ les mouve- 

 ments du point P sont définis par les géodésiques dhin ds"^ euclidien (« quatre 

 variables) et les trajectoires de la lumière par les géodésiques du même ds"^, 

 pour lesquelles ds- est nulle. 



Ce principe est une conséquence du principe de Kepler et du principe de 

 Fresnel, mais il ne leur est pas équivalent. Il exprime en effet simplement 

 que, par un choix convenable des variables (et qui d'ailleurs est possible 

 d'une inlinité de façons), le ds'^ en question est réductible à la forme 

 V-fite^ — dx'^^ — dx; — dxl. Pour obtenir intégralement les principes de 

 Kepler et de Fresnel, il faut ajouter que, pour l'un au moins de ces choix 

 des variables privilégiées, .r, est le temps et dx\ + dx\ + dx\ le carré de la 



