Îl52 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



que rrlément d'arc as' âv la surface a la forme 



( 'i ) Z- ( .r , y ) ds- =z tt.r dr. 



En faisant g = h = o, \e système {'S ) devient 



\' ) "XV— '"yy — s — '' — "-'i 



système (^doiit l'intégration est immédiate) qui intervient dans le beau 

 problème de Soplius Lie ( ' ) sur les cercles ^éodésiques de Minding-. 



Dans le cas où les fonctions g{iv) et /i(y) restent arbitraires, on n'a pas 

 pu intégrer complètement l'un ou l'autre des deux types d'équations difîé- 

 rentielles formant le système (3). Mais on a pu les intégrer [)0ur beaucoup 

 tie formes particulières des fonctions g et h. 



Parmi ces cas particuliers, les suivants ne sont pas sans intérêt. Il suffît 

 déconsidérer les équations en cp et ^. On remarque que, si i/(j;) est une 

 solution de Téquation eu <p, //- est une solution de l'équation en ^; donc, si 

 //, et IL, sont deux intégrales de l'équation en ;p, on a simultanémenl 



(6) <p = rt, //, -f (?.,// .^, t,^= (l\l'fllf2-\- On/t'l -\- (li.,lll. 



les Cl/, (ijj étant des constantes arbitraires. De plus, d'une intégrale parti- 

 culière u de Téquation en H, on peut déduire l'intégrale générale • 



(7) c^^=z a\.,u + (txxuc •.' "-h 0.22 ne .' ", 



OÙ ^- = 2a, a étant la constante d'intégration dans 



(8) 2 4^i,^= Aç'V''^+« = 4ç"— ^^"+«- 



1 I. Formes simples de g en fonclion de œ. — V Pour les formes 



^i' = ± m-, '"îo" = — f'> A' = '« ( "i — O--*""'» 



le système s'intègre facilement par des fonctions connues. 



2*^ Si 4^sin-.r = ^mim-\- i) — sin-j;, en partant de l'intégrale // = sina? 

 de Fécpiation en ^, on peut écrire l'intégrale générale (7) de l'équation en H; 

 si, en particulier, le nombre m est un entier positif, l'équation en <p prendra 

 une forme qu'Elliot (-^ a intégrée complètement. 



(') LiK, Arch. for Math, og Naturw, vol. 1>, 1S84, p. 40-61. el le premier vo- 

 lume (1896), le seul publié, de Lie-Scliellers sur la géomôlrie des transformations de 

 contact. 



(-) i'-LLiOT, Àcta math., t. i, i883. 



