SÉANCE DU 1*''' MAI 1922. 1 1 53 



3" Des deux problèmes classiques de Frenet, on déduit les éléments sui- 

 vants d'intégrales générales (6) 



dans les cas 



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II. Si g est donné en fonction de H, l'équation en ^ s'intègre par quadra- 

 tures; de même, l'équation en o, si ^ est donné en fonction de 9. 



i" Exemples : g= 2^, "• = 7^-, ^ = e^ et il'^ g = H ± a^", 



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2" En prenant pour g une série de puissances quelconque en ^, on a 



— n —n 



En particulier, pour ^ = g a^- + -^ |3^ + -^Yj <^" ^^^^ ramené à l'équation des 



fonctions elliptiques du second degré; et, comme autre exemple, si 

 0-^2 -_ const., la fonction ^ devient une fonction quadratique de x, et l'inté- 

 gration complète pour o s'accomplit sans difficulté. 



3** On peut choisir la fonction g de telle manière que l'équation en c, se 

 réduise à l'une ou l'autre des équations du second ordre qui définissent les 

 fonctions transcendantes nouvelles de M. Painlevé ('); on trouve 



2g = li^ + '^''fldx, ^=6^ + ^; 



III. Prenons pour cp une fonction donnée de ^. 

 1° Si cp = me, + n, il en résulte que 



g = l{rnl - nr\ ^'^^a + ^l - 2 ^^(^^ - n)-\ 



2« Si 9 = ^'", 2m — I ^ o, la forme de g s'écrit aisément, et l'intégration 

 pour l s'effectue par quadratures; si im — 1=0, l'équation en l est vérifiée 

 identiquement : donc, quelles que soient les fonctions ^(j?), ri(y), l'équation 



(') p. Painlevé, Acta mathematîca, t. 25, 1902. 



G. B., igai, 1" Semestre. (T. 174, N* 18.) o2 



