SÉANCE DU l'i" MAI 1922. I l63 



qui montre que r ne peut devenir nul qu'au bout d'un temps infini si Cq 7^ o ; 

 puis l'équation différentielle du second ordre qui définit r en fonction de t 



(5) ^+4;+4-ÇiE-«'=o. 



clL^ dt r- /•* 



Si Ton remarque que r reste borné (r<2a„), on déduit de (5) que la 

 plus petite limite de r est nulle pour / infini; voici, de ce fait, une démonstra- 

 tion plus rapide que celle de l'article cité. On a 



(6) 



r' ^ ( /?oE-2^'\^ , dr 



, dr 

 r étant borné, — admet la valeur zéro comme limite d'indétermination; le 



second membre de (6) est donc borné pour certaines valeurs infiniment 

 grandes de /; si - était borné comme r, l'intégrale du premier membre ayant 

 tous ses éléments positifs et jamais infiniment petits serait divergente dans 

 le champ (o, 4- ce); or, cela contredit ce qui précède. On voit même que le 



facteur i — ^-^—^ — doit traverser la valeur zéro, ou s'en approcher indéfi- 

 niment quand on fait croître t vers l'infini; r prend donc des valeurs de 

 l'ordre E~^^^ 



Ceci posé, supposons main tenan t que la pi us grande limi te p de /-pour /infini 

 soit positive; nous allons montrer qu'on aboutit à une contradiction. Décri- 

 vons deux circonférences de centre O, de rayons < p, égaux par exemple à - 



et j\ il existera une infinité d'arcs distincts de la trajectoire, joignant deux 

 points appartenant respectivement à ces deux circonférences et cotnpris 

 dans la couronne; comme r <^ia et que a tend vers a' en décroissant, 

 on a 



p5 2a'<; 2(7. 



En un point de l'un des arcs de trajectoire considérés, on a, par suite, 



(7) ,.2 = -J= — c:>_r; 



/• « p 



Comme la longueur de chacun de ces arcs est ^ y? l'intégrale / ds étendue à 



la somme de tous ces arcs est infinie; il en est de même, d'après (7), de 

 l'intégrale 



/ V ds^^ I v- dt, 



étendue aux mêmes arcs ou à toute la trajectoire. Mais alors, d'après (3), 



