II 64 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



la limite a' de a est nulle, et Ton a p -— o. La contradiction est manifeste et 

 l'on en conclut que r tend régulièrement vers zéro. 



Il s'ensuit d'ailleurs que a tend également vers zéro; on a, en effet. 



r Un 



d'où 



Ç i>''dt= E-2^' f (^ - ^\ E'^' dt, 



et, comme ^ est infinie positive avec t, on déduit de cette formule qu'il en 



est de même pour le premier membre. (On applique le théorème de la 

 moyenne en divisant le champ d'intégration en deux parties.) Par suite, 



a tend vers zéro avec -• c. q. f. d. 



Pour étudier la forme des trajectoires, remarquons que le rayon vecteur, 

 d'après (i), tourne toujours dans le même sens, étant une fonction analy- 

 tique et monotone de t et réciproquement. La formule qui donne la compo- 

 sante normale de la force 



«- "B" 



montre que la courbe tourne toujours sa concavité vers l'origine. Si, pour 

 t infini, le rayon vecteur tendait vers une position limite déterminée, r ne 

 pourrait admettre une infinité de maxima et de minima, sans que la courbe 

 ait une infinité de points d'inflexion : on le verra sans peine en s'aidant 

 d'une figure ('). Ce cas doit donc être écarté et il suffit, pour faire voir qu'il 

 y a bien mouvement en spirale, de démontrer la divergence de l'intégrale 



f''=f 





dans le eas où r reste décroissant à partir d'un certain moment. Or, dans ce 

 cas, r reste constamment de l'ordre de E— ^^^^5 en effet, d'après (6), comme 

 on l'a vu, r prend des valeurs inférieures, par exemple, à 2/?oE~^'^', et même 

 dans tout intervalle de grandeur fixe, t, suffisamment éloigné de l'ori- 

 gine C^). Or, si l'on avait 



r{t) <2poE-^-^', 



/i < T, 



(') On peut le démontrer analjliquement en toute rigueur. 

 (*) Voir l'article cité. 



