SÉANCE DU I^' iMAI 1922. I169 



c'est-à-dire 



4) A'(P:;Q,P) = A'(P)-A-^-(P)[^n,,,(P)r;.,,;,(P)+'^ 



<-/./•/, dxi^ 



OÙ, selon Fusage général, nous avons supprime'' le 1. Par conséquent, 

 A'^ A' de sorte que, dans le cas envisagé, la formule (2 ) n'est pas exacte. 



5. Voici un second exemple non moins instructif. Prenons les trois points 

 P(^V)j H(-f,+ dxi) et Q(-r,-h d.ri-\- o.^-^ ) et calculons la dilîérence 



A'(PÏR,0, I') - A'g^). 

 D'après (i), 



A'( P ; H, Q, P) =: A'( PrK, Q) - A-(P H, (,») rj,,„,,(«,>) (^.r„,+ o^,„), 



puisque les coordonnées de P par rapport à (} sont — ( d.v,„ 4- o.r„/). 

 D'autre part, 



A'(P:R, Q) = A'(P5K) + A'^(Pi.K)^',^,yi(ll)o^y^ 



= A' + A-' n,,, i d.vi + [ A'^ + A' r„',,, dx, ] r;;,r,/, ( ^ ) ^-r, , 



où, pour simplilier l'écriture, nous avons su[»primé la lettre P. 

 On arrive ainsi à la formule 



(5) A'(Pai, Q, P)-A'(P) 



— — A* "'"''^ -1- rÔ.^./To.T.A- {dx,, dxi-\' dx„ fiXi-\- ôa.'„ nx,) 



qui montre bien que les cas de deux, trois et quatre points diffèrent essen- 

 tiellement. / 



6. Mais la vraii' difficulté réside dans le fait que les formules ( 4 ) et ( 5 ) sont 

 absurdes. En effet, Texpression dans le crochet n est pas un tenseur. On le 

 vérifie immédiatement en se rapportant à la transformation des para- 

 mètres To,;/ dans un changement de variables. 



La raison de toutes ces difficultés est qu'on prétend obtenir une précision 

 de second dogré au moyen d'une approximation du premier degré. La 

 théorie de la connexion linéaire n'est pas à môme do nous renseigner sur les 

 différences de degr»' supérieur. 



L'étude du déplacement des tenseurs conduit donc nécessairement à Vintro- 

 duction de la connexion quadratique, etc. 



7. Définissons la connexion quadratique par la formule 



( 6 ) A' ( P $ Q ) = A' ( P ) 4- A->- n,,,/, dxk -+- \ k-'h'-'''-^ dxj dxk 



C R., 1922, i« Semestre. (T 174, N» 18.) 83 



