12-20 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ALGÈBRE. — Sur H7i nouveau théorème d' Algèbre . Note de M. Paul Montel. 



1. J'ai établi récemment quelques propositions fixant une limite supé- 

 rieure des modules des zéros des polynômes assujettis à certaines condi- 

 tions (^). Je me propose d'indiquer maintenant un théorème général de la 

 même nature. 



Supposons que l'on lixe les valeurs d'un polynôme P(.r) et de certaines 

 de ses dérivées en // points déterminés x^, x.^, ... ^ x,^\ par exemple, suppo- 

 sons donnés les nombres 



Si 



a, ^- CK., -f- . . . 4- a/, — /? -1- I . 



ces nombres déterminent un polynôme Q(^ï) dont le degré est effective- 

 ment/), à moins que les valeurs données ne vérifient une relation particu- 

 lière. Si l'on pose 



R(ir) = (^ — x,Y^ {.X — a?.)*'^ . . . (.r — ^/,)°"s 



le polynôme P(-^) pourra se mettre sous la forme 



(i) P(./') = Q(j-) + R(.r)(a,.r"' + r/.,A-"=-H. ••+ ff/.-r'"-) (o, ,«,</?.,<. ..<«/,). 



On peut alors énoncer la proposition suivante : 



Un polynôme P(^), assujetti à prendre, ainsi que certaines de ses dérivées, 

 des i^aleurs données en des points donnés., ces valeurs étant en nombre suffisant 

 pour déterminer un polynôme effectivement de degré p^ a toujours p zéros dans 

 un cercle de centre origine dont le rayon ne dépend que des données et du 

 nombre li- des paramètres arbitraires qui figurent dans le polynôme P(.i) mis 

 sous la forme (i). 



Dans le cas particulier où h = \ et a,=/? + i, on retombe sur le 

 théoi'ème signalé précédemment et correspondant à des polynômes dont 

 on a lixé, à l'origine, la valeur ainsi que celles de leurs p premières 

 dérivées (- ). 



2. Le théorème qui précède est à rapprocher de la proposition suivante : 



(') Comptes rendus, t. 17'»., 19'.'^, p. S5o. 

 (2) Loe. cil. 



