SÉANCE DU 8 MAF I922. I22I 



dans les conditions indiquées au paragraphe 1, l'un des polynômes P(jo) 

 ou l*(^) — 1 a 7> zéros dans un cercle de centre origine dont le rayon ne 

 dépend que des données et non du nombre ^' ( ' ). 



Comme on peut, dans le théorème énoncé au paragraphe précédent, 

 remplacer P(a.:) par P(xv) — i, on voit que la différence entre les deux pro- 

 positions réside dans le fait de supprimer Talternative « \^{x) ou P(.x) — i » 

 et d'introduire le nombre l: dans l'expression du module maximum des 

 p zéros de plus petits modules. 



Ainsi, à chaque théorème formant une généralisation du théorème de 

 Picard sur les valeurs exceptionnelles, correspond une proposition qui, 

 appliquée à des polynômes, fait disparaître l'alternative entre les fonctions 

 P{j') et P(x) — I, mais fait apparaître le nombre des termes ou des arbi- 

 traires figurant dans le polynôme. 



3. Lorsque le polynôme P(.r ) satisfait à une relation fonctionnelle telle 

 que, à chaque zéro de P(^), corresponde un zéro de P(^) — i de module 

 au plus égal à celui du premier, les théorèmes des deux groupes deviennent 

 identiques. 



Il en sera, en particulier ainsi, lorsque les exposants des monômes qui 

 constituent P(x) forment une progression arithmétique. On obtient alors 

 le théorème : 



Le polynôme 



F(.c) — 1 + 0:'^+ ai.v"+'/ + ...-{- «/,_, ^"+ '•-"'? 



a toujours p zéros dont les modules ne dépassent pas un nombre Jixe indépendant 

 de q et du nombre k des termes du polynôme, à condition que p ne soit pas 

 divisible par q. 



Si le nombre/; varie en restant supérieur à un entier lixe/?', il existe 

 toujours/)' racines de l'équation P( j:) = o dont les modules ne dépassent 

 pas un nombre lixe qui ne dépend que de/>'. 



Ce théorème s'étend immédiatement à une fonction analytique f(x) 

 délinie par le développement de Taylor 



/(.r) = 1 -t- xi' + a^xi'+'i + . . . + ai^ai'+'"i + . . . {p' ^p). 



H existe un cercle de centre origine dont le rayon ne dépend que de p' , tel 

 que toute fonction holomorphe dans ce cercle y admette p' zéros. 



(*) P. MoNTEL, Comptes rendus, t. \lk, 1922, p. i43. — Sur les familles quasi 

 normales de fonctions holomorphes {Mémoires de V Académie royale de Belgique, 

 1922, p. 33). 



