SÉANCE DU 8 MAI 1922. 1223 



C'csl Texpression de 2II, dans laquelle on a remplacé les valeurs des 

 forces appliquées par zéro, et les réactions par leurs différentielles. 



La fonction II étant positive pour toutes les valeurs des R et des F il en 

 est de même de cPIl. c. o, f, d. 



3. Remarque. — Le théorème de Menabrea est une application de la pro- 

 position générale suivante, qui n'est que Textension dune propriété du 

 trinôme du second degré : 



« Etant donnée une fonction du second degré, de plusieurs variables, non 

 nécessairement quadratique, mais dont l'ensemble des termes de second 

 degré constituent une fonction quadratique définie positive^ la fonction passe 

 effectivement par un minimum pour les valeurs des variables satisfaisant 

 aux conditions de premier ordre, pour un extrémum. » 



La démonstration est identique à la précédente. 



4. Généralisation. — Soit un système de corps isotropes ou à libre 

 moyenne, isostalique ou hyperstatique, soumis à des forces appliquées. 

 Supposons que sous l'influence de ces forces, le corps se déformant, cer- 

 tains points viennent à être arrêtés par des obstacles avant que la déforma- 

 tion totale ne soit atteinte. Soient R,, R., ..., R,, les réactions de ces 

 obstacles quand le corps est en équilibre, A,, Ao, ..., A^ les projections 

 respectives, sur les forces R, des déplacements des points ainsi arrêtés 

 (quelques-uns de ces déplacements pouvant être nuls, cas des obstacles 

 agissant dès le début de la déformation). Les valeurs que prennent, en fait, 

 les R rendent minima l'expression 



/ = /' 



considérée comme fonction des R. 



En effet, d'après le théorème de Castigliano ^^j^- = A, Oii^j^ = o; les 



conditions de premier ordre pour l'extrémum étant remplies, le théorème 

 montre que passe par un minimum. 



.). Théorème corrélatif du théorème de Menabrea. — Dans le cas d'un 



nombre fini de forces, les équations X, = -^peuvent se résoudre par rap- 

 port à ces forces ; le déterminant est le discriminant d'une fonction quadra- 

 tique définie positive, il est donc différent de zéro. 

 On a ainsi 



F; = a;, À, + b',il. -I- ... -h /'',„ >.„ 



