SÉANCE DU l5 MAI 1922. 1281 



est elliptique (la vitesse initiale étant extérieure à la droite joignant la 

 planète au Soleil), la planète tend vers le Soleil quand le temps croît indé- 

 iiniment. 



J'ai appliqué au problème considéré différents procédés de calcul qui 

 m'ont permis récemment d'étudier (') certains mouvements du problème 

 des trois corps, et j'ai obtenu des résultats analogues à ceux de M. Fatou 

 dans des hypothèses plus larges. 



Faisons seulement sur la résistance de milieu les hypothèses suivantes : 

 7- désignant la distance du point mobile M au point fixe O, et v la valeur 

 absolue de sa vitesse, la résistance de milieu est une force directement 

 opposée à la vitesse du point M, dont la valeur absolue R est une fonction 

 de la vitesse v^ de la distance /- et peut-être de la direction du rayon vecteur, 

 de la direction de la vitesse et du temps, mais dépend nécessairement de la 

 vitesse r. Nous supposons que, pour un système de valeurs données de r et 

 quelconques des autres variables, la fonction positnc R est infiniment petite 

 si V est infiniment petit, et au contraire est supérieure à une quantité fixe 

 si V est supérieur à une quantité fixe. 



Dans ces hypothèses le mouvement du point M est plan, et j'ai démontré 

 que ce mouvement peut prendre seulement trois allures finales différentes : 

 1° Ou bien le point M choque le point O au bout d'un intervalle de temps 

 fini; 



2° Ou bien le mouvement dure indéfiniment et le point M tend vers le 

 point O quand le temps croît indéfiniment ; 



3'' Ou bien le mouvement dure indéfiniment, et la distance OM tend vers 

 r in fini avec le temps. 



Les hypothèses considérées comprennent en particulier la loi de résis- 

 tance R = hv'^r'^, où h et a désignent deux constantes positives, et fJ une 

 constante négative ou positive, loi considérée par Encke (pour a — 2, 

 ^ = — 2) et par Backlund, et les lois admettant pour expression une 

 somme de termes de la forme précédente. 



Les résultats énoncés sont valables si la fonction R est seulement 

 continue, sans avoir de dérivées partielles continues, ni remplir les condi- 

 tions de Lipschitz : s'il y a un faisceau d'orbites qui satisfont à la fois aux 

 équations différentielles du second ordre entre les coordonnées et aux 

 conditions initiales, ils s'appliquent à chacune des orbites de ce faisceau. 

 En ce qui concerne la comète d'Encke, Backlund a même été conduit à 



(') Annales de l'École Normale, 3<= série, l. 39, 1922, p. 29-180. 



