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qP Résultats des campagnes scientifiques accomplies sur son yacht, par 

 Albert P*", prince souverain de Monaco. Fascicule LX : Hydroïdes ; Pluma- 

 ridœ, par Maurice Bedot. Fascicule LXI : Tomoptérides , par A. Mâlâquin et 

 F. Carin. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions croissantes positives. 

 Note de M. Spyridion Sakantopoulos, présentée par M. Hadamard. 



1. M. Borel, dans son célèbre Mémoire ('), a démontré sur une fonction 

 croissante la formule suivante : 



M 





où a est positif et aussi petit que l'on veut et z également positif. Cette iné- 

 galité est vérifiée à partir d'une valeur de x^ sauf peut-être dans quelques 

 intervalles exceptionnels d'étendue finie. M. Borel a considéré le nombre £ 

 comme constant. Je me propose, à ce point de vue, de faire connaître ici 

 une extension de son résultai. 



J'ai établi le théorème suivant : 



2. Théorème J. — Etant donnée une fonction o(œ) décroissante, telle que 

 l'on ait lim[,r i^(>r)J = ce, et une fonction croissante quelconque M(j), Viné- 

 galité 



( [log m (.r) lr(-o j L 



se vérifie toujours, sauf peut-être dans quelques intervalles exceptionnels 

 d'étendue totale finie, a étant un nombre constant mais aussi petit que l'on 

 veut. , 



Supposons que pour les valeurs suivantes : 



jZ'j — j:'o + 



[logM(^o)]^'"">' 



(2) ' ' ' [logM(:ri)]^ 



9>a:,) 



Xy/ J^V— 1 '^ 



[logM(^v-i)F-^- 



(') Acta mathematica, 1897. 



