SÉANCE DU 22 MAI I922. 



l'inégalité (i) ne soit pas vraie. Les égalités (2) donnent 



l32ï 



(3) 



^'; — t3^Q — i~ 



[logM(xo)]?'-"°' [logM(^;o)]?'^v-,) 



Supposons maintenant que le nombre des valeurs (2) qui ne satisfont pas 

 à l'inéeralité (1) soit infini et considérons la série 7 n — ^r-, — t-tïtt-i * ^^^ 



rapport A., est 





logM(a--v_i) 



9(-^'v-.> 



Mais à cause de l'hypothèse laite, on a 



logM(^-,-i) 

 JogM(^-v) 



on aboutit donc à la relation 



< 



I -i- « 



d{i +rt)?'-^v-.) 



où 6 reste plus grand que l'unité et a pour limite, peut-être, l'unité. Soit 



lim 6 = 1; on a ( ' ) 



' I .'. 1 



I. 



Nous écrirons 



lim >.,,== lim ;^lim — — — : 



9 (i -h «X^'-^v-,) 



X,= 



6{i-h ci)^^^''->^ I + a./ 



c'est-à-dire «,, = 0(1 + rt)'f*'v,)_ i et nous appliquons la règle de Raahe et 

 Duhamel bien connue; on a «,,> o et limav= o- 

 La formule de \ewton donne 



I 'j(./*v_, ) 



ou 



rtv=: Ôcp( J'v_, )a 



kh-v-6 — l, 



où k est positif et lim X: = o. On a donc 



vav> v^9(J?v-i)«( I— - 



(>) Si l'on a lim 5 > 1 , la série sera sûrement convergente. Si 9(.r.._i) est constante 

 visiblement on retombe au théorème de iW. Borel; on aura Iim/.v< i. 



