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La reialion (3) donne x,, — x^^<C^^ car chaque terme est plus petit que 

 l'unité; il en résulte a fortiori 



OU encore, puisque ç>(^v-) ) ^ 'f (^"v)? 



v«v> V 9(^v)«( I ) — j:'o9( J-v)«( I ■ I • 



Maintenant, pour que nous ayons vrtv!> i pour loute valeur de «'^constante 

 mais aussi petite qu'on veut, il suffit que l'on ait lim[a;o(£j7v)] = ^, c'est- 

 à-dire 



lim [.r a)(.r )] = x. 



Alors la série \ t-j — rj- — -r;r^^^ est convergente : la valeur .x\ tend donc 

 vers une limite linie. Mais ceci est en contradiction avec le fait que x^ tend 

 vers l'infini en même temps que v, comme il rc'sulte des relations 



M(x,)>[M(.r,.0]'-^- 

 qui donnent 



logM(.r,)>(i + ./)MogM(^-o). ^ 



On démontre facilement, maintenant, que l'étendue totale de ces inter- 

 valles exceptionnels est finie et ég"ale au nombre représent('' par la série 

 convergente ^{x,-x,)=^j^~-^^^', elle ne dépasse danc pas le 



nombre donné par la série t—^ V ',,, . 



3. L'extension que je doime au théorème de M. Borel est remarquable 

 parce qu'elle nous donne le droit d'ajouter à la variable x des quantités plus 

 grandes qui tendent vers zéro moins vite que la quantité ^ ' • On s'en 



persuade facilement si l'on prend 's^{x) = hx-^ où h et S; sont constantes 

 et o <; Sr <^ I. On peut encore lui donner les formes suivantes : 



IL Etant donnée la fonction croissante M(7-) et une autre o{x') décrois' 

 santé {ou constante) et telle que lim [cp(a7)/^] = ce, l'inégalité 



M[^.é'ii»sM,.v)]-f(-'J <[M(^)J' 



se vérifie, sauf peut-être dans quelques intervalles exceptionnels d'étendue totale 

 finie; a est un nombre positi "^ et aussi petit que Von veut. 

 IIL Toute fonction croissante de la forme 



,— 10g7«( V) 



