SÉANCE DU 22 MAI 1922. l323 



OÙ k(œ) croît moins vite que x et m(x) est une fonction croissante mais quel- 

 conque, vérifie V inégalité 



M 



ni{x) 



< [M (.r )]'+«, 



sauf dans quelques intervalles exceptionnels d'étendue totale finie; a est un 

 nombre positif aussi petit qiCon veut. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques théorèmes de M. BorcL 

 Note de M. Th. Varopoulos, présentée par M. Emile Borel. 



En ulilisant systémaliquemenl le théorème suivant : 



Etant donné un nombre ^ positif et supérieur à i unité quelconque^ s^it existe 

 des valeurs de r ne satisfaisant pas à V inégalité 



<OlJ.{r), 



I0gp.(/-)l0g2p.( /•)... lo-,/^(/-)" 



a ^ I quelconque, et v un nombre entier aussi grand que Von veut mais fixe ^ 

 ces valeurs exceptionnelles remplissent des intervalles d'étendue totale finie^ 

 qui n'est pas aulre chose que le théorème classique de M. Borel, sur les fonc-. 

 tions croissantes, perfectionné, j'ai obtenu de nouveaux résultats qui pré- 

 cisent certaines propriétés des fonctions entières. 



Le but de cette Note est de communiquer ces résultats, qui sont les 

 suivants : 



1, Si les coefficients d une fonction entière 



f{z) = a,- 

 satisfont à l'inégalité 



i«»i<4f' 



à partir d'une valeur de \z\ = r oii [J'{r) est une fonction quelconque crois- 

 sante, nous avons Vinégalité 



M(/-) < ^rix^r) log/j.(r) log,f^(/-) . .. log, a (/■)'+-, 

 où 



M(/-) = I a„ I + I a, !/■ -+- . . . 4- I fl-^ l/-" + . . . , 



£ ^ o quelconque et (I un nombre supérieur à l unité quelconque. 



IL Si q(f) est une fonction croissant plus vite que toute puissance de r [finie 



