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pour toute valeur assez grande de r, nous avons l'inégalité 



M(/-) < QriJ.(r)g{r) log^(r) \o^^q{?) . . . log,g'(r)'+' 



partout, sauf peut-être quelques intervalles exceptionnels d'étendue totale 

 finie. 



Nous en concluons les inégalités 



I 

 M(/-) < QrK{r) logA(r) \o%,k{r) . . . log,A(r)'+S 



M(/-)<5/-B(r)logB(/)log2B(/)...log,B(/-)'+% 



où A(/-), — B(;-) désignent le maximum et le minimum de la partie réelle 

 de la fonctiony( ::). .. 



III. Soit une fonction entière 



SI nous avons 



|««k"<F(/-), 



le module maximum m, (r) de la dérivée f {z) satisfait à r inégalité 



m,{rXQr^{r)q{r)\o^q{rY, 



OÙ a^i quelconque et q(r) la fonction ci-dessus mentionnée. 



IV. Si pour I :; I =: ;• nous avons l' inégalité 



le nombre n des zéros dont le module est inférieur ou égal à r vérifie 

 V inégalité 



/i<Ô/-Xr)P(/-)logP(r)«, 



<2 > 2 quelconque et P(r) désigne une fonction croissante arbitraire assujettie 

 à la condition de croître plus vite que \o^r. S'il existe des intervalles excep- 

 tionnels, leur longueur est négligeable. 



V. Si la fonction décroissante fj(r) décroît moins vite que 



•og3f^(^) + log4/z(/-) +. . .4- (i + £)IogvjuL(r) 



lJ.(r) étant une fonction croissante quelconque, l'inégalité 



+ log^{ry('-^ </^('')^ {9 >i quelconque) 



est véri^ée partout sauf peut-être quelques intervalles exceptionnels d'étendue 

 totale finie. 



