SÉANCE DU 22 MAI 1922. l325 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Ics relations r/iii existent entre l'ordre de 

 croissance dune fonction inonof^éne et la densité de ses zéros. Note 

 rie M. RoLF Nevanunna, présentée par M. Emile Borel. 



Soityf^) une fonction nionogène rie la variable complexe ^ — re''^, régu 

 lière en tout point fini de Tangle 



et qui y jouit des propriétés suivantes : 



i** Sur les côtés de cet angle on a les inégalités 



a,^/') et y-^i/) désignant des fonctions continues et positives d'ordre au 

 plus égal à r^, de sorte que, pour tout £ > o, on a 



oc^(/-) < /■^■+' ((^ = I, 2) 



à partir d'une certaine valeur de ;*. 

 2° A l'intérieur de l'angle (i), on a 



log|/(/'e'?)|<m(/'), 



l'ordre de croissance de m(/') n'étant pas supérieur à r^ . 



3" La fonctiony(\i^) s'annule en une infinité de points de l'angle (1) 



x^— r^e'^n {n =1.2, . ..), 



tendant vers Tinfini et tels que 



lim Slip. I cp«| = Oo< ~- 



Soit encore ^(n) une fonction positive croissante telle que r„<'^(n) 

 à partir d'une valeur finie de r. 



Dans ces conditions on aura, pour tout point x ^= r de [l'axe réel positif , 

 Vinégalité 



,.^ I 1/7 \x<^''\i r- CK^(u)-\- y.,(ii) r^' du ^m{p)\ 



(A) logL/(r)|^-'|A-j^^ ;;^T. "% m^' ^ ~y^ ] ' 



OÙ z peut avoir une valeur quelconque ^ r et où p^ désigne une constante posi- 

 C. R., 1922, I" Semestre. (T. 174, N* 21.) 9^ 



