l326 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



tive (<^ p), C une quantité qui ne dépend pas de p et enfin X„ la quantité 



Âf, = lirn inf. cosÂ:cp„ pour /i^rj^^ 



laquelle tend vers cosX:^,, lorsque p„ augmente indéfiniment. 



A l'aide de ce théorème assez général, que nous avons tiré de l'intégrale 

 de Poisson, on peut établir facilement, en y choisissant convenablement les 

 fonctions a,(/-), cc^Ç?-), fn(?'), S(/i), un grand nombre de propositions inté- 

 ressantes, soit nouvelles, soit précisant des propositions déjà connues, 

 comme nous le ferons voir dans un Mémoire qui paraîtra bientôt. Ici, nous 

 nous contenterons d^indiquer certaines conséquences immédiates de Tiné- 

 galité (A). 



On aura à distinguer deux cas, suivant que l'intégrale 



(2) ■ f 



; — : (fit 



converge ou non. Dans le premier cas on aura ce théorème : 



Soit J\x) une fonction mono gêne jouissant dans l'angle (i) des propriétés 

 énumérées plus haut. Si l'intégrale (2) converge et si, en outre ^ 



m{r) 

 lim — j-^ ^= o, 



la série 



1 

 sera converiiente. 



Si, en particulier, /(.x-) esl une fonction enlière, on retrouve une propo- 

 sition donnée récemment par M. Valiron. 



Dans le cas où l'inLégrale (2) diverge, on est conduit à ce théorème : 

 Les hypothèses générales restant les mêmes quau début ^ admettons en parti- 

 culier qu'on ait 



et d'autre part 



m{r)^e{r)r'' I -^1-2— —^1-1 du , 



«1 \n'' ) + a., \n'') 



(j désignant une constante positive et i(r), t{n) des expressions tendant res- 

 pectivement vers zéro avec -et -• 



