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ment, à partir de (^<,, /„, //o, ^o- »'o)i un arc, cl,,„„.„(/?, ...,q, ...), qui 



dépend à la fois des indéterminées/), . . .et des indéterminées g, 



Cela posé, et le groupe >î, ç, tl, V, \^^ des fonctions (5) étant supposé calcu- 

 lable par cheininement sur l'arc (6), pour que le i^roupe des fonctions (2) soit 

 lui-même calculable sur l'arc 



[.iL,,,,,(/>, . . .)- =^kv7.„.,.,H.(/>, ..-, q. ■■ .)]■ 



il faut et il suffit que, sur Varc (6 ), le déterminant différentiel ^—-r — f — .' - , 

 -' •'-' ^ ' ^ ^ •'' (?(a, p, y, 0, A) 



reste constamment différent de zéro. 



Cette propriété, que Ton peut établir avec une entière rigueur, suggère, 

 pour la recherche des figures intégrales singulières du système (i), telles 

 que nous les avons définies dans une Note antérieure ( '), un procédé indi- 

 rect, basé sur la connaissance des formules (5). Adjoignant à ces formules 



, , .. (){>>. G, X), V), ■^)) ,,. . . , . 



la relation —7- — ^ ^ ^ ■ = o, on elimmera entre ces six équations trois 



^(a, p, y, 0, /) ' ^ 



des constantes arbitraires, y, 0, A par exemple; on obtiendra ainsi, dans 

 un espace à huit dimensions, une famille de figures à cinq dimensions 

 dépendant des indéterminées a, [55. On examinera alors si l'attribution à a, 

 ^ de telles ou telles valeurs convenablement choisies peut fournir des figures 

 intégrales du système (i). 



II. Considérons actuellemenl une figure intégrale (ordinaire), (5), du 

 système (3 bis), lellc que les fonctions /s(a, |3, y, c. A), ft{y., p, y, f). A), 

 /„(a, fl, y, 0, A),/,,(a, 3, y, 0, A), /,,(a, p, y, 0, A), auxquelles se réduisent 

 respeclivemcnl, pour a;, y, z = ^y, r^, z^^ les inconnues s^ t, u, v, tr, satis- 

 fassent aux simples conditions d'avoir comme valeurs initiales respeclives^,,, 

 ^05 "o» <'o? ^0^ 6^ de présenter, par rapport aux arbitraires ce, [îi, y, 0, A, un 

 déterminant différentiel à valeur initiale non nulle. Une semblable inté- 

 grale de (3 bis) étant connue, il suffirait, pour en obtenir une appartenant 

 au type spécifié ci-dessus (I), d'opérer sur les arbitraires la transformation 

 définie par les formuh^s 



/,(«, (3, 7, à, À) = a'. /({a, {3, y, 0, l) = [5', 

 ./„(a, ,3, y, â, >.) = ■/, .A(^, P: 7, ô, >.)=:a' /...(a. ^ y, ô, À)-^/.'; 



toutefois, comme les deux équations 



à{s, G, r), v, VÎT') £;(.s, G, r), 'v;^ vv») 



d(a, i5, y, 0, À) ' à{ci'. ^', f, o\'/.') 



=: O 



(•) Comptes rendus, t. 172, 1921, p. jG3i 



