l4oo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la loi dc Gauss. ^ 

 Noie de M. J.-W. Lindeberg, présentée par M. Emile Borel. 



1, Supposons que l'erreur a soit la résultante d'un grand nombre n d'er- 

 reurs partielles, indépendantes les unes des autres : 



a = Ui + «, + ...+ u„. 



Nous désignerons par U^Ja.-) la probabilité pour que la valeur de l'er- 

 reur 11^^ soit < J7, par U(^') la fonction correspondante relative à Terreur 

 résultante //, et nous admettrons que ces fonctions sont telles que les quan- 

 tités 





jj. = 1, ..., n) 



(les intégrales étant prises dans le sens de Stieltjes) sont toutes finies. 

 Posons enfin 



n n 



Ceci posé, on peut tirer de certains résultats établis par LiapounofF ( ' ) le 

 théorème que voici : 



Le nombre positif 'b étant donnè^ on pourra^ à tout nombre t'^o^ faire 

 correspondre un autre nombre positif r\, dépendant uniquement de 'b et de z, 

 tel que l' inégalité 



(0 



u{a -\- rx ) — / — ^ dl 



est vérifiée toutes les fois qu^on a 



<£ 



II 



!J. = i 



2, Supposons en particulier «, = «o = . . . = «„= o et admettons en outre 

 que les erreurs partielles t/, , . . ., u^ soient bornées^ de sorte que | w, |, ..., |«„| 

 restent inférieurs à une limite finie a. Dans ce cas on pourra, du théorème 

 ci-dessus, tirer la conséquence suivante : 



(*) A. LiAPOUNOFF, Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité 

 {Mémoires de V Académie de Saint-Pétersbourg, t. 12, 1901). 



