SÉANCE DU 29 MAI I922. l4o3 



pris à l'intérieur de l'hypersphère (2), s'accumulent vers les points d'un 

 certain ensemble (m), situé sur la surface de cette hypersphère, et qui ne 

 dépend pas du choix du point P. Par tout point (a,, ûo» ••■) ^«) ^^ {"^) 

 menons le plan tangent à la sphère en question 



et désignons par (M) Tensemble de tous ces plans qui sont des multiplicités 

 à 2/1 — 2 dimensions puisque ic,, .t^, .. ., a7„ sont des variables complexes. 

 A l'aide de considérations qui ne sauraient trouver place ici, on arrive à la 

 solution suivante du problème posé ci-dessus : 



Les transformées par le groupe T d^ une multiplicité algébrique quelconque 

 à in — 1 dimensions qui ne comprend aucun point de (m) admettent comme 

 points d'accumulation l'ensemble des points des plans (M). 



Il résulte de ce théorème que les transformées d'un point quelconque de 

 l'espace ne faisant partie d'aucun des plans (M) admettent les points de 

 l'ensemble (m) comme seuls points d'accunmlation. 



2. Considérons maintenant la classe des fonctions automorphes, corres- 

 pondant au groupe F, qui sont représentables par des quotients de séries de 

 la forme 



(3) 



e=y5e(\^,^,. ..,.-) ^^'^'•••'^)1 



où 3e désigne une fonction rationnelle, séries qui convergent dès que l'expo- 

 sant/- dépasse une certaine limite. 



En admettant que les fonctions X qui entrent dans les séries en (juestion 

 restent fmies aux différents points de l'ensemble (m), il résulte du théorème 

 ci-dessus que les singularités essentielles des fonctions automorphes de la classe 

 considérée sont constituées par l'ensemble des points des plans (M). Il faut 

 noter que ces plans dépendent uniquement du groupe donné, de même que 

 les singularités essentielles dans le cas d'un groupe automorplie à une 

 variable. 



II existe des groupes pour lesquels l'ensemble (m) comprend tout point 

 réel de la multiplicité (2); tels sont, par exemple, les groupes formés par 

 des substitutions (i) à coefficients entiers. Pour ces groupes, si le nombre n 

 des variables est >> 2, les points des plans (M) remplissent un domaine con- 

 tinu à 2.n dimensions, défini par l'inégalité 



( 4 ) œt .r, X.2 5^2 4- . . . 4- .c„ .v„ — i^\ a-] -j- xj -\- . . . -i- xj,— i \ 



{xi désignant le conjugué du nombre x,). Par suite, toute expression 



