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OÙ S, i, //, u^, Ut désignent cinq fonctions inconnues de^, j, :;. Soient 



! s —è (jf, 7, z, a, |3, y, d, /,), 



^ t =^ {x, y, z, a, [3, y, ô, X), 



(3) ' a ='-0 (^, j, :;, a, [3, y, ô, À), 



^ ;<,=r ^.(j^, j, ^, a, |3, y, ô, ?.), 



Ui—Vi{.x,y, z, a, j3, y, ô, /.) 



les intégrales générales du système (2). 



Cela posé, on pourra procéder comme il suit à la recherche de l'intégrale 

 singulière du système (i). 



Entre les cinq équations (3) et la relation 



(^(a, i3, y, a, }.) -""' 



on éliminera les cinq constantes arbitraires a, (3, y, 0, X ; on obtiendra ainsi 

 une relation de la forme 



(4) \l(x,y, z, s, t, u, u,, Ut) = o, 



et l'on examinera s'il existe quelque fonction a de x, y, z, .v, t vérifiant, en 

 même temps que le système (i), l'équation aux dérivées partielles (4). 

 IL Lorsque le système passif (i) a ses seconds membres linéaires 



par rapport aux dérivées -y-, —, la méthode d'intégration de Jacobi lui est 



applicable, et l'on pourra, dès lors, procéder à la recherche de l'intégrale 

 singulière de la façon indiquée dans une Note récente (*); on sera ainsi 

 conduit à adjoindre au système proposé, non plus, comme dans le cas pré- 

 cédent I, une relation différentielle, mais une relation finie entre x, y, z, 

 s, t^ u^ et il restera à examiner si la figure définie par cette dernière est une 

 intégrale du proposé. 



II L Le cas d'une équation aux dérivées partielles unique et linéaire du 

 premier ordre présente une particularité géométrique qu'il convient de 

 noter. Considérons, par exemple, l'équation 



(5) ^ = U + Y^VZ^ + S^+Ï^, 

 ncc dy âz ds âi. 



où u désigne une fonction inconnue de x, 7, z^ 5, t^ et U, Y, Z, S, T des 

 fonctions connues de x^y, z, s, t, u. Pour procéder, suivant la méthode 



(') Comptes rendus^ t. 174-, 1922, p. i3g2. 



