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seule série asymptotique. D'un autre côté, il existe toujours une infinité de 

 fonctions admettant le même développement asymptotique. C'est un pro- 

 blème important de trouver des conditions supplémentaires (S) par les- 

 quelles la fonction y(^) devient déterminée d'une manière unique par sa 

 série asymptotique. Pour exprimer que f(z) admet la série asympto- 

 tique 2] ::^ et satisfait aux conditions (S), nous allons utiliser le symbole 



v = l 



v = o 



M. Watson a démontré que/(::) est déterminée d'une manière unique si 

 l'on suppose 



(2) \fn{z)\<b"\ iJ.cAn , (o</j-<i), 



b étant une constante ('). On a posé : 



Les conditions (S) doivent être telles que les relations 



entraînent les suivantes : 



(3) 



1 p = 



Finalement la relation (i) doit être équivalente à f{z) =y ^ si la série 

 est convergente. 



Je me propose ici de démontrer que les inégalités 



(^) IA(0|<-— ^^[p(/0?" 



(où ^ et m sont des constantes positives qui peuvent varier d'une fonction à 



(') M. Nevanlinna a perfectionné ce théorème en montrant qu'on peut remplacer p. 

 par I dans l'inégalité (2) {Zur Theorieder asymptotischen Polenzreihen, tielsingfors, 

 1918). 



