SÉANCE DU 12 JUIN I922. 



une autre) constituent un système de conditions (S) 5« 



ID29 



n = 



est une série divergente à termes positifs décroissants. Supposons, par impos- 

 sible, qu'il existe une autre fonction g(z) ayant la même série asympto- 

 tique quey(3 ) et remplissant en outre la condition 



\8n{-^)\< 



On en déduit, pour la fonction 



F(.)=/(.)-^(: 



une inégalité de la forme 



A? 



[^('0]*". 



f„{z.)-gr,{z.) 



P,( •! ^X 1 n 



?(«) 



|F(=)l<^-4v 

 1 cos — 



\ «./ 



En prenant \l suftîsamment grand, il s'ensuit aisément, pour la fonction 



(5) G(^) = ti^t/^ (^^ - 2)^- F(^) dx. 



la limitation 



|G(.)1<A 



.[^ 



En utilisant la transformation Z = s*, il s'ensuit, par un raisonnement 

 utilisé dans ma Note Sur un théorème de M. Denjoy ( ' ), que (y{z.) est identi- 

 quement nul. Il en est donc de même de ¥{z) en vertu^de (5). c.q.f.d. 



On vérifie facilement les relations (3) en utilisant le fait que ^{n) est une 

 suite croissante. Par contre, la monotonie de la fonction ^{n) n'est pas 

 indispensable pour établir l'unicité dey(:;). 



Remarquons qu'on pourrait obtenir le même résultat au moyen du théo- 

 rème de M. Denjoy en considérant la fonction indéfiniment dérivable 



«—(a 



e''V{s)ds. 



(') Comptes rendus, t. 17i, 1922, p. SjS. 



' • o < 



1^ L t 3 R A R 



