SÉANCE DU 12 JUIX I922. l53l 



l'existence d'une suite de fractions p : q approchant d'une irrationnelle 

 donnée co, l'approximation étant au moins égale k— — (' ). Humbert a 



développé la méthode d'Hermite en utilisant la division modulaire du 

 demi-plan et a étudié la relation entre ces fractions d'Hermile et les 

 réduites du développement de w en fraction continue. D'une manière paral- 

 lèle, Humbert introduisit une représentation géométrique très remarquable 

 des réduites du développement en fraction conlinue de w au moyen de la 

 division du demi-plan en triangles de Stephen Smith. 3 = a; -h «j étant la 

 variable complexe, les triangles de Smith se déduisent du triangle fonda- 

 mental de côtés ^ = o, y ^o; .t = i,j>o ; s — - = -,j> G par les subs- 

 titutions du groupe modulaire: ces triangles ont leurs sommets aux points 

 d'abscisse rationnelle de l'axe réel et ont pour côtés des demi-circonférences. 

 Chaque point d'abscisse rationnelle non entière p : q de cet axe est sommet 

 intermédiaire d'un triangle T(p, q), sommet gauche d'une suite de triangles 

 dont l'un, le premier, est adjacent à T(/j, q) et sommet droit d'une autre 

 suite dont \q premier est adjacent à T(/?, q). Pour que p : y soit une réduite 

 de w, il faut et il suffit que les deux côtés aboutissant en ce point dans l'un 

 des triangles de Smith de sommet p : q coupent la droite a; = w (et alors 

 cette circonstance se produit pour l'un des premiers triangles). 



Si Ton considère les hauteurs des triangles de Smith limitées aux som- 

 mets et à leur point de concours ( c'est-à-dire les homologues des arcs 



x= -, y>^-; \z\= I, o<r<^; |:^ - i| = i, o<y<^),on voit que la 

 condition nécessaire et suffisante pour que/? : 7 soit fraction d'Hermite est 

 (jue la droite .r — w coupe l'une des hauteurs aboutissant en ce point dans 

 les triangles de Smith de sommet/? : q. Pour que cette circonstance se pro- 

 duise, il est nécessaire et suffisant que .r = w coupe la hauteur aboutissant 

 enp'.q dans l'un des deux premiers triangles de Sjnith de sommet/; •.(/. 

 Il en résulte de suite que toute fraction d'Hermite appartient à la suite des 

 réduites ordinaires, que sur deux réduites consécutives l'une au moins est 

 fraction d'Hermite, et la condition nécessaire et suffisante pour que p '.q 

 soit fraction d'Hermite, donnée également par Humbert, s'obtient immé- 

 diatement. 



(') Voir HiiRMiTE, OEu\ves, l. 1, p. i64; \.vo\i> Mémoires à^ \\\:y\v.\\\\\. Journal de 

 Math.. 1916, et une Noie de M. Emile Borel, Comptes rendus, l. 1U3, 1916, p. Sgô. 



