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Mais il est clair que l'on peut remplacer les hauteurs des triangles de 

 Smith par d'autres lignes brisées aboutissant aux sommets pourvu rpie toute 

 droite x =^ m (co non rationnel) coupe une infinité de ces lignes. Ce n'est 

 encore qu'appliquer la méthode de réduction continuelle. On peut prendre 



dans le triangle fondamental de Smith le point z = i, arg z =^ f) (^^^)' 



joindre ce point au point à l'infini par une parallèle à Oy et à l'origine par 

 un arc de cercle tangent à Oj, puis prendre les homologues de cette ligne 

 brisée dans les deux substitutions modulaires laissant invariant le triangle 

 fondamental. On obtient dans chaque triangle de Smith trois lignes brisées 

 formées de deux segments joignant les sommets deux à deux. Pour l'une 

 au moins p ; (/ de deux réduites consécutives la droite x ■= cm coupera l'un 

 des segments aboutissant en ce point, et inversement, tout sommet p : q 

 d'un segment coupé par â? = w donne une réduite ordinaire. La suite des 

 fractions ainsi obtenues est d'ailleurs extraite de celle d'Hermite et donne 



l'approximation — : — tt-s- 



Dans le cas particulier simple où l'on part des deux segments déterminés 

 sur Oy par le point d'ordonnée i, on obtient une suite de fractions />: 7 



extraite de celle d'Hermite donnant l'approximation — , • Gomme on passe 



des réduites ordinaires aux fractions de cette deuxième suite d'Hei-mite en 

 supprimant l'une au plus de deux réduites consécutives, on obtient un 

 développement de w en fraction continue semi-arithmétique (les numéra- 

 teurs sont ± i) analogue au développement hermitien considéré par Hum- 



bert, mais donnant l'approximation — -' La condition nécessaire et suffi- 



santé pour quey:>:y appartienne à cette deuxième suite est aisée à former. 

 On est ensuite conduit à considérer les réduites p:q telles que la 



droite j; = oj coupe deux des segments aboutissant en ce point ( et corres- 

 pondant à = - j- On obtient encore une suite extraite de la précédente et 



qui se déduit de la suite des réduites ordinaires en supprimant au plus 

 deux réduites sur trois consécutives. Ces fractions donnent l' approximation 



canonique _ ^ - On peut remplacer la condition de couper deux segments 

 homologues du segment ^c = o, j >> i par celle de couper un homologue du 

 segment x = -> y^-^, ce qui est moins restrictif et donne la même approxi- 



