l54o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Remarque. — Si nous projetons P sur P^, l'angle d'une droite quelconque 

 de P avec sa projection est un infiniment petit, et son cosinus ne diffère de 

 l'unité que d'un infiniment petit du second ordre. Par suite, les relations 

 entre quantités finies et les relations du premier ordre établies entre des 

 longueurs et des angles d'une figure quelconque de P se conservent aux 

 infiniment petits du second ordre près pour les projections de cette figure 

 sur P(,. 



Nous nous appuierons sur le théorème suivant : Les angles que font avec 

 la normale les projections respectives d'un rayon incident L et du rayon 

 réfracté L' sur un plan quelconque passant par la normale au point d'inci- 

 dence obéissent à la loi de la réfraction, si l'on prend pour indices les pro- 

 duits respectifs des indices des deux milieux par le cosinus de l'angle w ou 

 w' de L ou L' avec P ('). 



1. La remarque faite plus haut nous permet de transformer ce théorème 

 et de dire : Les projections de L et L' sur un plan quelconque P„ mené par 

 la normale au point d'incidence du rayon central du pinceau, font avec 

 cette normale des angles qui suivent la loi de la réfraction si l'on prend pour 

 indices les produits n cosco et n' cosco'. Si Pq se confond avec Qo ou avec 

 Rq, nous obtenons comme cas particuliers le théorème de Lippich. 



2. Soienta-,5 et*' , r>^^,s^ ç.ls'^ les tangentes des intersections de 2, S et S' avec 

 PetPo. Les projections de a, ^et*' surPo se confondent avec o-^, ^^'êt^'^, si 

 nous négligeons les infiniment petits d'ordre supérieur au second. Quand 

 P se confond avec Q ou avec R, P,, se confond avec Q^ ou avec Rq. 



L et L' étant perpendiculaires à 5 et s\ les projections /q et /„ de L et L' 

 sur Pp sont, au second ordre près, perpendiculaires à *o et/^,. Autrement 

 dit, /„ et /J qui ne sont pas des normales aux surfaces S et S', sont normales 

 aux sections de S et S' par Q^ et Rq, et, d'après ce qui a été dit au para- 

 graphe 1, /q et /y sont conjuguées. Nous sommes donc ramenés à étudier 

 dans un plan la réfraction d'une onde circulaire sur un cercle (-). 



L'expression analytique de l'invariant optique du premier ordre au voisi- 

 nage de lo dans les plans Q„ et R^ nous donne les deux premières des trois 

 équations qui définissent le pinceau réfracté. 



(') Ce théorème est une conséquence immédiate des propriétés du triangle splié- 

 rique rectangle, mais on peut en donner une démonstration tout à fait étémenlaire. 

 Cf. Heath, loc. cit., p. 21. 



(^) Cf. DuFOUR, Les focales du dioptre sphérique {BulleUn de l'Union des Phjsi- 

 c/e/î5, avril-mai 1917). 



