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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Des équations aux dérivées partielles du second 

 ordre intégrables par la méthode de Darboux. Note de M. Gosse, pré- 

 sentée par M. Goursat. 



Si Ton désigne par m^ et m.^ les racines deTéquation caractéristique 



- , àf df 



os àt 



relative à Téquation aux dérivées partielles 



E = /■ +/(./•, r, z, p, q, s, t) = o, 



on peut énoncer les résultats suivants : 



I. Si l'équation E admet, pour le système i de caractéristiques, un inva- 

 riant d'ordre supérieur à 3, sans en admettre d'ordre inférieur, ou bien elle 

 admet une involution d'ordre 3, ou bien la racine m^ vérifie la relation 



dl as 



II. Une équation E qui n'est en involution avec aucune autre d'ordre 3 

 et qui admet, pour chaque système de caractéristiques, un invariant 

 d'ordre supérieur à 3, est une équation de Mon g-e- A m père. 



En particulier, toute équation de la première classe qui n'admet aucune 

 involution d'ordre inférieur ou égal à 3 se réduit à une équation de Monge- 

 Ampère. 



L'étude générale de la méthode de Darboux met donc d'elle-même en 

 évidence l'importance de cette catégorie d'équations, et il est naturel de 

 chercher à déterminer celles d'entre elles qui sont de la première classe. 



J'ai résolu le problème dans les deux cas les plus simples : 



1° Il y a une intégrale intermédiaire du premier ordre pour chaque sys- 

 tème de caractéristiques. 



Toutes les équations de la première classe de cette catégorie se déduisent 

 par une transformation de contact des équationsdu type j^ z=:y(a:, y, s, p, q), 

 classées et intégrées par M. Goursat ('). 



2° Chaque système de caractéristiques admet deux invariants d'ordre au 

 plus égal à 2. 



(') Voir Goursat, Annales de la Faculté de Toulouse, 2'^ série, t. 1, 1899, et ma 

 Thèse de Doctorat (chez Privai, Toulouse, 1921). 



