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surfaces minima ou à courbure moyenne constante réelles, mais on peut 

 trouver des surfaces imaginaires donnant des systèmes cycliques ou sys- 

 tèmes orthogonaux réels. 



M. Hazzidakis a pu donner en termes finis les équations paramétriques 

 des surfaces du type (è); en dégageantes formules des constantes de dépla 

 cernent, on a 



(3) 





(r + 0(«— 



W/c . r l^du « -I- i' 



t est une constante représentant le paramètre de déformation. 



Il suffît que U, V soient respectivement fonctions complexes conjuguées 

 des variables complexes conjuguées u, v et que t soit imaginaire pure, pour 

 obtenir les propriétés énoncées. 



Un cas où le ds^(i) est de révolution s'obtient pourU = iu'^ et V= — iV, 

 c'est le ds^ caractéristique des développées de surfaces minima. Les 

 formules donnent ce' surfaces transcendantes, sauf celles obtenues 

 pour / = o ou / = ce, qui sont algébriques et réglées, d'équation respective 



,,^ \ 3{a- -^ iz) {a: ~ izY-h y*—o, 



( 4 ) 



/ ^h {x + iz){œ — izY-}- i^j {œ — izY-^ i = o. 



Associées à la développée de la surface minima d'Enneper, elles four- 

 nissent des systèmes cycliques algébriques; les systèmes orthogonaux 

 correspondants sont algébriques pour la première et comprennent, pour la 

 seconde, une famille algébrique, deux familles transcendantes, 



3. Pour le type (c), Ossian Bonnet trouve une surface S qui n'est ni 

 l'évolutive ni hélicoïdale; le ds"^ de S est de révolution et les auto-applications 

 de S conservent les rayons principaux. Or, ni Ossian Bonnet, ni M. Hazzi- 

 dakis ne remarquent que leurs formules définissent en outre une certaine 

 surface hélicoïdale 1. unique et bien déterminée quand S est obtenue; cette 

 surface 2 est applicable sur S avec conservation des rayons principaux et 

 doit être considérée comme une auto-déformèe à la limite de S. 



Je dois donner quelques explications sur un paradoxe qui peut se pro- 

 duire pour toute surface, ni révolutive ni hélicoïdale, dont le ds"^ est de 

 révolution : il n'est pas nécessaire que cette surface S soit du type étudié 



