SÉANCE DU 26 JUIN 1922. 1679 



Xa, ■•-, Ys+i de a?,, j?2, ..., Xs, vérifiant (I), prenant en un point ^r." des 

 valeurs données et telles que si Ton considère ces fonctions comme définis- 

 sant une iransformalion r —f(x), le groupe CJ est le transformé de if par/. 

 En d'autres termes y =/(^) ^st définie par l'équation fonctionnelle 



(II) /l^] = (J[f]' 



II. ?sous allons étudier les fonctions/ des variables x ainsi définies : 



i"* Posons ^R = cr\^ -+- ixl, les fonctions y se comportent comme des fonc- 

 tions ratioimelles dans tout domaine fermé de l'espace x\,x^, x'^, x_,, . .., 

 x'^, x] de connexion linéaire égale à Tunité et ne contenant aucun point 

 de (0). 



2° Si, lorsque le point x\, x\, .. ., x] décrit un contour fermé, les fonc- 

 tions y, reprennent des valeurs y, différentes des valeurs primitives, la trans- 

 formation qui fait passer des 7, aux y^ est permutable avec toutes celles 

 de g. 



Ces deux théorèmes sont encore vrais si Ton échange entre eux g et g, 

 les X et les y. 



III. Deux cas peuvent donc se présenter : 



1° Toutes les transformations de i^ sont permutables entre elles; en pre- 

 nant pour ^^- le groupe x'- = x^-h a^ (i = i, 2, ...,s), on obtient pour les j 

 des fonctions uniformes. 



2°^ n'admet aucune transformation infinitésimale distinguée; si g est 

 tel que par un choix convenable des paramètres, les équations de ^• 

 dépendent birationnellement de ces paramètres, les fonctions y sont uni- 

 formes dans un domaine quelconque. De plus, la correspondance établie 

 par (II) entre les transformations finies de o- et g est l)iuniforme, ce qui 

 n'a pas lieu lorsque g est permutable. 



IV. Soit x' = ^.{x) une transformation à s variables telle que Ton ait 

 symboliquement f[^{x)] = /[r]. Nous dirons que z appartient au 

 groupe (^') de /. On obtient facilement (g') en considérant les y comme 

 des variables et les. r comme des fonctions et l'on arrive au résultat suivant : 



(g') est un sous-groupe discontinu du groupe g' formé des transforma- 

 tions permutables avec toutes les transformations de g. 



Les substitutions de («') sont de deux sortes : les unes, analogues aux 

 périodes cycliques des intégrales abéliennes. proviennent des contours 

 tracés sur DXU qui ne peuvent être réduits à un point par une déformation 

 continue; les autres, analogues aux périodes polaires, proviennent de 

 contours infiniment petits entourant un point de S. 



