SÉANCE DU 26 JUIN 1922, 1681 



dut que la transformation ^ — S„S, ... 'S,^_^(t) transforme le demi-plan 

 supérieur des l en un cercle C„{[j.) situr entièrement au-dessus de l'axe réel 

 dans le plan des H, et, en outre, que chaque Cn([J.) contient tous les Cv([J^) 

 d'indice supérieur. La suite des cercles C,(l;.), C.,{[j.), ..., C„(a), . .. tend 

 donc ou vers un cercle limite C(tjL) ou bien vers un seul point p(u!-). Dans 

 le second cas nous dirons avec M. Hamburger que la fraction continue est 

 complètement convergente. 



Citons maintenant le lemme suivant : 



« Soit 'l'o(^) une fonction non décroissante telle ([ue tous les moments 

 correspondants existent. Alors on a 



/_ 



r — z — v' 



" — 00 * 



où l'on a posé 



yo=/ a']>o{j^), ïoai=/ a:^/'|o(^i'). 1 X — z ' 



'|,(^) étant une fonction de même nature que '|o(^)- " 



'f'^ _ est égal 



Av 



V - — ^(Av^ o). La proposition générale s'en déduit par un passage à 



V = I 



la 



limite en approchant / '^ par des expressions de la forme 



2j ■~^^^~ : H -^^^ : \-^^^ 3—. 



••■■ X^i — C ^—m -^ •^' m -' 



V = — ni 



Soit maintenant '\{^x) une solution quelconque de (i). Par application 

 répétée du lemme que nous venons d'énoncer, on voit que la valeur de /, 

 solution de l'équation 



ç=r î^iM=s.s,...s„_,(o 



est de la forme i= 1 ij^ii^fl. '\/,^(x) étant non décroissante, on trouve 



I[/] ^ o. Le point H est donc situé à l'intérieur du cercle C„(a). Ceci ayant 

 lieu quel que soit /?, on voit que ^ appartient au cercle C([j.). D'où le 

 résultat : 5/ 'j'(ï') est une solution quelconque du problème des moments (i), 



